$c_{0}$ und $\ell ^{\infty }$ als Unterräume von Lipschitzräumen

Es wurde bereits in obiger Bemerkung 2.2.12 angedeutet, und wir werden die Argumente dafür im nächsten Abschnitt 2.4 und auch in Kapitel 3 kennenlernen, daß das Isomorphie-Ergebnis von Bonic, Frampton und Tromba für Räume skalarwertiger Lipschitzfunktionen in folgender Allgemeinheit gilt: Für kompakte Teilmengen $K$ endlichdimensionaler Banachräume ist $Lip(K^{\alpha})\simeq \ell^{\infty}$ und $\ell ip(K^{\alpha})\simeq c_{0}$. Es ist nur natürlich, nach weiteren Verallgemeinerungen zu fragen, zum Beispiel danach, ob dieses Ergebnis für beliebige kompakte metrische Räume $K$ gilt. Diese Frage ist in der Literatur nach wie vor noch nicht beantwortet. Allerdings hat man ein schwächeres Resultat, nämlich den folgenden Einbettungssatz von J. A. Johnson aus dem Jahre 1972. Dieser gilt jedoch in großer Allgemeinheit; man beachte, wie wenig über den metrischen Raum vorausgesetzt wird.

Theorem 2.3.1   Sei $(K,d)$ ein metrischer Raum mit $\inf_{x\neq y}d(x,y)=0$. Dann enthält $Lip(K)$ einen zu $\ell ^{\infty }$ isomorphen Unterraum, und $\ell ip(K^{\alpha})$ enthält für $0<\alpha <1$ einen zu $c_{0}$ isomorphen komplementierten Unterraum.

Das Theorem ist insofern geradezu perfekt, als es praktisch alle metrischen Räume abdeckt. Diejenigen $K$ nämlich, für welche die Minimalvoraussetzung $\inf_{x\neq y}d(x,y)=0$ nicht erfüllt ist, produzieren lediglich die ``trivialen'' Lipschitzräume $Lip(K)\simeq \ell ip(K)\simeq \ell^{\infty}(K)$, wie man schnell sieht. Der auf den ersten Blick etwas technisch anmutende Beweis von Johnson ist ausgesprochen trickreich. Er involviert für $K^{\alpha}$ ein Jonglieren mit Metriken $d^{\beta_{n}}$, ``nahe bei'' $d^{\alpha}$, für die aber $d^{\alpha}$ eine Höldermetrik bleibt (also $\beta_{n}>\alpha$) und die damit zu Lipschitzfunktionen auf $K^{\alpha}$ führen. Es stellt sich heraus, daß man zwei Fälle unterscheiden muß. Im ersten Fall, wir wollen ihn den diskreten Fall nennen (jeder Punkt besitzt eine Umgebung, ``die alleine ihm gehört''), hat $K$ lediglich Cauchyfolgen, welche ab einem Grenzindex konstant sind. Wir wollen den Beweis für diesen Fall, der in [26] skizziert ist, durchexerzieren. Der Beweis für den Fall, in dem $K$ einen Häufungspunkt besitzt, ist in [27] detailliert beschrieben. (Man beachte, daß dies alle Fälle sind, da man o.B.d.A. nach Satz 1.1.8 davon ausgehen kann, daß $K$ vollständig ist.) Aufgrund der Tatsache, daß man es im ``Alltagsgeschäft'' gewohnt ist, metrische Räume mit mindestens einem Häufungspunkt vor sich zu haben, verlangt es der Anstand, auch den Beweis für den zweiten Fall, der als nichtdiskreter Fall bezeichnet sei, zumindest anzusehen. Dies ist auch gewinnbringend, wenn man den Beweis des diskreten Falls erfolgreich absolviert hat.

Beweis. [Beweis für den diskreten Fall] Unter einer trivialen Folge wollen wir hier eine Folge verstehen, die ab einem Index $n\in {\mathbb{N}}$ schließlich konstant bleibt. Das Gegenteil sei eine nichttriviale Folge. Wir nehmen also an, daß $K$ nur triviale Cauchyfolgen hat. In diesem Fall enthält jede nichttriviale Folge $(x_{n})\subseteq K$ eine Teilfolge $(x_{n_{k}})$ mit $d(x_{n_{k}},x_{n_{k'}})\geq \delta$ für $k\neq k'$ und einem geeigneten $\delta>0$. Sonst gäbe es zu jedem $\varepsilon >0$ nur endlich viele Folgeglieder von $(x_{n})$, die diese Ungleichung (mit $\varepsilon$ statt $\delta$) erfüllen, und $(x_{n})$ wäre eine Cauchyfolge, also trivial. Seien nun gemäß Voraussetzung $(x_{n})$ und $(y_{n})$ Folgen in $K$ mit $x_{n}\neq y_{n}$ für alle $n\in {\mathbb{N}}$ und $d(x_{n},y_{n})\to 0$ für $n\to \infty$. Wäre $(x_{n})$ trivial, so wäre $(y_{n})$ eine nichttriviale Cauchyfolge, also ist $(x_{n})$ nichttrivial, und wir nehmen gleich an, daß $d(x_{m},x_{n})\geq \delta$ für $m\neq n$ und ein $\delta>0$ gilt. (Man sieht, daß in unserem Fall $K$ nicht kompakt sein kann.) Wir nehmen o.B.d.A. $d(x_{n},y_{n})\leq \frac{\delta}{2}\leq 1\enspace\forall n\in{\mathbb{N}}$ an und setzen $r_{n}=\frac{1}{2}d(x_{n},y_{n})$ sowie $B_{n}=\{x:d(x,x_{n})\leq r_{n}\}$ (diese Kugeln dienen uns als Träger gewisser Funktionen). Nun vereinbaren wir noch $d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A, y\in B\}$ sowie $d(x,B)=d(\{x\},B)$ und bezeichnen mit $\widetilde{B}$ das Komplement von $B$ in $K$. Es gilt nun die wichtige Ungleichung

$$d(B_{m},B_{n})\geq\frac{\delta}{2} \quad m\neq n$$ (1)

wegen $r_{m}\leq \frac{\delta}{4}$ und $r_{n}\leq \frac{\delta}{4}$ sowie $d(x_{m},x_{n})\geq \delta$ für $m\neq n$. Da die Funktion $t\mapsto t^{\beta}$ für $\beta>1$ nicht subadditiv, d.h. $d^{\beta}$ im allgemeinen keine Metrik mehr ist, behandeln wir zunächst den Fall $\alpha<1$. Es sei $(\beta_{n})$ eine Folge mit $\alpha<\beta_{n}\leq 1$ $\forall n\in{\mathbb{N}}$ und $\beta_{n}\to \alpha$ für $n\to \infty$, so daß

$$r_{n}^{\beta_{n}-\alpha}\geq \frac{1}{2} \quad d^{\beta_{n}-\alpha}(x_{n},\widetilde{B}_{n})\geq \frac{1}{2}$$ (2)

gilt. Definiere nun mit $f_{n}:x\mapsto d^{\beta_{n}}(x,\widetilde{B}_{n})\enspace\forall n\in{\mathbb{N}}$ und mit $a=(a_{n})\in \ell^{\infty}$

$$T(a):=f_{a}:=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}f_{n}.$$

Dies ist, da die Kugeln $B_{n}$ paarweise disjunkt sind, eine wohldefinierte Funktion mit dem Träger $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}$, die $\vert f_{a}(x)\vert\leq \vert a_{n}\vert d^{\beta_{n}}(x,\widetilde{B}_{n})\leq \vert a_{n}\vert r_{n}\leq\Vert a\Vert _{\infty}$ für alle $x\in B_{n}$, also $\Vert f_{a}\Vert _{\infty}\leq\Vert a\Vert _{\infty}$ erfüllt. Um $\sup_{x\neq y}\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)}\leq\infty$ und damit $f_{a}\in Lip(K^{\alpha})$, zu zeigen, müssen wir drei Fälle unterscheiden. 1. Fall: $x\in B_{m}$ und $y\in B_{n}$ mit $m\neq n$ und $\beta_{m}<\beta_{n}$. Dann gilt

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq\frac{\vert a_{m}\vert d^{\beta_{m}}(x,\widetilde{B}_{m})+\vert a_{n}\vert d^{\beta_{n}}(y,\widetilde{B}_{n})}{d^{\alpha}(x,y)}$$

$$\overset{(\ref{diskret})}{\leq}\Vert... ...\right)^{-\alpha}\Vert a\Vert _{\infty}\leq 2^{1-\alpha}\Vert a\Vert _{\infty}.$$

2. Fall: $x,y\in B_{n}$. Damit haben wir

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} =\frac{\vert a_{n}\vert\vert d^{\beta_{n}}(x,\widetilde{B}_{n})-d^{\beta_{n}}(y,\widetilde{B}_{n})\vert}{d^{\alpha}(x,y)}$$

$$\leq \Vert a\Vert _{\infty}\frac{d^{\beta_{n}}(x,y)}{d^{\alpha}(x... ...eq \Vert a\Vert _{\infty}(2r_{n})^{\beta_{n}-\alpha}\leq\Vert a\Vert _{\infty}.$$

3. Fall: $x\in B_{n}$ und $y\notin \bigcup_{m=1}^{\infty}B_{m}$. Hier kann man wegen $d^{\beta_{n}}(y,\widetilde{B}_{n})=0$ wie im zweiten Fall abschätzen:

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} =\frac{\ve... ...{\infty}\frac{d^{\beta_{n}}(x,y)}{d^{\alpha}(x,y)}\leq\Vert a\Vert _{\infty}.$$

Andererseits gilt nach Definition von $r_{n}$ und $B_{n}$ sowie nach Wahl der $\beta_{n}$ mit (2.3.2) die Abschätzung

$$L_{\alpha}(f_{a}) \geq\frac{\vert f_{a}(x_{n})-f_{a}(y_{n})\vert}{d^{\alpha}(x_{n},... ...vert\vert d^{\beta_{n}}(x_{n},\widetilde{B}_{n})\vert}{d^{\alpha}(x_{n},y_{n})}$$

$$\geq\frac{\vert a_{n}\vert r_{n}^{\beta_{n}}}{(2r_{n})^{\alpha}}=... ...}{2^{\alpha}}r_{n}^{\beta_{n}-\alpha}\geq \frac{\vert a_{n}\vert}{2^{1+\alpha}}$$

für alle $n\in {\mathbb{N}}$. Insgesamt erhalten wir damit

$$2^{-1-\alpha}\Vert a\Vert _{\infty}\leq \Vert T(a)\Vert _{L}\leq 2^{1-\alpha}\Vert a\Vert _{\infty},$$ (3)

womit $T: \ell^{\infty}\to T(\ell^{\infty})\subseteq Lip(K^{\alpha})$ ein Isomorphismus ist. Jetzt zeigen wir $T(c_{0})\subseteq \ell ip(K^{\alpha})$. Sei hierfür $a=(a_{n})\in c_{0}$ mit o.B.d.A. $\Vert a\Vert _{\infty}\leq 1$ und ein $\varepsilon >0$ gegeben. Dann gibt es ein $N\in {\mathbb{N}}$, so daß $\vert a_{n}\vert\leq\frac{\varepsilon }{2}$ für $n\geq N$ ist. Wähle weiter ein $\delta'\in (0,1)$ mit $(\delta')^{\beta_{n}-\alpha}\leq \frac{\varepsilon }{2}$ für $1\leq n< N$. Für $d^{\alpha}(x,y)\leq (\delta')^{\alpha}$ folgt dann $\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq\varepsilon$. Wieder unterscheiden wir die drei Fälle. 1. Fall: $x\in B_{m}$ und $y\in B_{n}$ mit $m<N\leq n$. Damit greift die Abschätzung

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq \frac{\vert a_{m}\vert d^{\beta_{m}}(x,y)+\vert a_{n}\vert d^{\beta_{n}}(y,x)}{d^{\alpha}(x,y)}$$

$$\leq\vert a_{m}\vert d^{\beta_{m}-\alpha}(x,y)+\vert a_{n}\vert d... ...leq 1\cdot\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\cdot 1\leq\varepsilon .$$

Für $m<n\leq N$ oder $N\leq m<n$ schätzt man entsprechend ab. 2. Fall: $x,y\in B_{n}$. Hier rechnet man wie im obigen zweiten Fall

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq \vert a_{n}\vert d^{\beta_{n}-\alpha}(x,y)\leq\frac{\varepsilon }{2}$$

sowohl für $n<N$ als auch für $n\geq N$. 3. Fall: $x\in B_{n}$, $y\notin \bigcup_{m=1}^{\infty}B_{m}$. Mit diesen Vorgaben schätzt man wieder genauso wie im zweiten Fall ab. Bei dem Versuch, aus einem $f_{a}$ die Folge $a\in \ell^{\infty}$ wiederzugewinnen, stößt man auf die folgende Projektion $P$ in $Lip(K^{\alpha})$ mit $P(Lip(K^{\alpha}))=T(\ell^{\infty})$, definiert durch

$$P(f):=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}f_{n} \quad b_{n}:=\frac{f(x_{n})-f(y_{n})}{f_{n}(x_{n})}.$$ (4)

Ist $\Vert f\Vert _{L}\leq 1$, so gilt unter Berücksichtigung von (2.3.2)

$$\vert f(x_{n})-f(y_{n})\vert \leq d^{\alpha}(x_{n},y_{n})=(2r_{n})^{\alpha}\leq 2^{\alpha}d^{\alpha}(x_{n},\widetilde{B}_{n})$$

$$\leq 2^{1+\alpha}d^{\beta_{n}}(x_{n},\widetilde{B}_{n})=2^{1+\alpha}f_{n}(x_{n}).$$

Man hat also $\Vert(b_{n})\Vert _{\infty}\leq 2^{1+\alpha}$, woraus mit (2.3.3) und $(b_{n})$ anstelle von $a$ die Abschätzung $\Vert P\Vert\leq 4$ folgt. Gilt bereits $f=f_{a}$ für ein $a=(a_{n})\in \ell^{\infty}$, so erhält man $b_{n}=\frac{a_{n}f_{n}(x_{n})-0}{f_{n}(x_{n})}=a_{n}$, also $P(f_{a})=f_{a}$, so daß $P^{2}=P$ und $P(Lip(K^{\alpha}))=T(\ell^{\infty})$ gilt. Es gilt schließlich $P(\ell ip(K^{\alpha}))=T(c_{0})$, und um dieses einzusehen, reicht es wegen $T(c_0)\subseteq \ell ip(K^{\alpha})$ nach dem gerade Gezeigten $P(\ell ip(K^{\alpha}))\subseteq T(c_{0})$ festzustellen. Sei also $f\in \ell ip(K^{\alpha})$ gegeben und $(b_{n})\in \ell^{\infty}$ gemäß (2.3.4) berechnet. Eingedenk der gerade hergeleiteten Ungleichung $d^{\alpha}(x_{n},y_{n})\leq 2^{1+\alpha}f_{n}(x_{n})$ erhalten wir

$$b_{n}=\frac{f(x_{n})-f(y_{n})}{f_{n}(x_{n})}\leq 2^{1+\alpha}\frac{f(x_{n})-f(y_{n})}{d^{\alpha}(x_{n},y_{n})}\to 0$$

für $n\to \infty$, also $(b_{n})\in c_{0}$. Und damit ist für $\alpha<1$ alles gezeigt. Um zu zeigen, daß auch $Lip(K)$ eine Kopie von $\ell ^{\infty }$ enthält, verwenden wir den obigen Beweis mit der Modifikation $\beta_{n}>\alpha=1$, wobei wir für ein beliebiges $\beta>1$ alle $\beta_{n}\leq\beta$ wählen können. Man erhält nach kurzer Rechnung die Ungleichung

$$\vert x^{\beta}-y^{\beta}\vert\leq\beta\, \vert x-y\vert\quad\forall x,y\in [0,1],$$ (5)

für alle $\beta>1$, und diese ersetzt im zweiten und dritten Fall die umgekehrte Dreiecksungleichung für $d^{\beta_{n}}$, so daß wir dort die Abschätzungen $\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)}\leq \beta\Vert a\Vert _{\infty}$ erhalten (man beachte, daß $d(x_{n},\widetilde{B}_{n})\leq 1$ für alle $n$ gewählt wurde). Im ersten Fall muß man jetzt $\beta_{m}>\beta_{n}$ wählen. Alles weitere gilt völlig analog. $\qedsymbol$

Bei genauem Hinsehen fällt auf, daß man im Falle $\alpha=1$ die Einbettung von $\ell ^{\infty }$ in $Lip(K)$ ``fast isometrisch'' wählen kann, d.h. den Banach-Mazur-Abstand von $\ell ^{\infty }$ und $T(\ell^{\infty})$ beliebig nahe an die $1$ heranbekommt. Man wählt dafür am Anfang des Beweises o.B.d.A. $d(x_{n},y_{n})\leq\frac{\delta}{4}\leq 1\enspace\forall n\in{\mathbb{N}}$ und setzt für $0<\lambda<1$ dann $r_{n}=\lambda d(x_{n},y_{n})$. Damit gelten nach wie vor die wichtigen Tatsachen $d(B_{m},B_{n})\geq\frac{\delta}{2}$ für $m\neq n$ und $d(y_{n},\widetilde{B}_{n})=0\enspace\forall n\in{\mathbb{N}}$. Im ersten Fall erhält man $\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d(x,y)}\leq \lambda\Vert a\Vert _{\infty}$, insgesamt also $\Vert f_{a}\Vert _{L}\leq \beta\Vert a\Vert _{\infty}$. Für die Abschätzung von unten muß man die $\beta_{n}$ so wählen, daß sogar $r_{n}^{\beta_{n}-\alpha}\geq \lambda$ und $d^{\beta_{n}-\alpha}(x_{n},\widetilde{B}_{n})\geq \lambda$ für alle $n\in {\mathbb{N}}$ ist. Dann erhält man $L_{\alpha}(f_{a})\geq\lambda^{1+\alpha}\Vert a\Vert _{\infty}$. Für die Projektion ergibt sich damit $\Vert P\Vert\leq \beta\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{1+\alpha}$. Da die Metrik $d$ beliebig war, gelten die gerade gemachten Aussagen für alle $Lip(K)$ im diskreten Fall. Dies darf allerdings nicht darüber hinweg täuschen, daß im nichtdiskreten Fall der gleiche Schluß mit der benutzen Beweistechnik nicht gezogen werden kann. Man beachte, daß trotz (oder gerade wegen) der Benutzung von Ungleichung (2.3.5) unser Beweis der Einbettung $c_{0}\hookrightarrow \ell ip(K)$ am zweiten Fall scheitert. Dies entspricht der Beobachtung aus Kapitel $1$ (siehe Bemerkung 1.1.14), daß $\ell ip(K)$ eindimensional ist, wenn $K$ zum Beispiel ein Intervall in ${\mathbb{R}}$ ist. Der Beweis geht allerdings durch, wenn man den zweiten Fall ausschließen kann. Dies ist bei gewissen ``verkrümelten'' metrischen Räumen möglich, z.B. wenn im diskreten Fall für unsere Folgen $(x_{n})$ und $(y_{n})$ ein $\lambda\in (0,1)$ unabhängig von $n$ existiert, so daß mit $r_{n}=\lambda d(x_{n},y_{n})$ stets $B_{n}=\{x_{n}\}$ gilt. Wenn man in ``stark verkrümelten'' Fällen $\lambda$ beliebig nahe bei $1$ wählen darf, so kann man auch hier die Güte der Einbettung, sprich den Banach-Mazur-Abstand von $c_{0}$ und $T(c_{0})\subseteq \ell ip(K)$, sowie die Norm der Projektion beliebig nahe an die $1$ bringen. In diesem Zusammenhang ist der Hinweis angebracht, daß wir im nächsten Abschnitt das Vergnügen haben werden, die Frage nach der isometrischen Isomorphie zwischen $c_{0}$ und $\ell ip_{0}(K)$ genauer zu studieren. Unter natürlichen Voraussetzungen werden wir dabei zu ganz klassischen ``verkrümelten Räumen'' geführt, nämlich zu nirgends dichten Teilmengen der reellen Achse vom Lebesgue-Maß 0. Der Beweis des nichtdiskreten Falls erfordert noch einige weitere technische Finessen, die uns aber, nachdem wir den diskreten Fall hinter uns gebracht haben, keine große Angst mehr einflößen müssen. Wir haben nämlich das Glück, daß sich die grundlegenden obigen Beweisgedanken auf den nichtdiskreten Fall übertragen lassen. Wie im diskreten Fall werden Kugeln $B_{n}\subseteq K$ definiert, die als Träger der Funktionen $f_{a}$ dienen, welche für $a\in \ell^{\infty}$ genauso wie im obigen Beweis definiert werden. Auch die Projektion $P$ kann völlig analog erklärt werden. Lediglich die Abschätzungen im Fall $1$ brechen beide Male zusammen, da nur dort die Lage der Kugeln zueinander und damit die wichtige Eigenschaft (2.3.1), die im nichtdiskreten Fall natürlich nicht aufrechterhalten werden kann, eine Rolle spielt. Johnson löst dieses Problem, indem er die Folge der Kugeln so geschickt ``auf den Häufungspunkt zu'' konstruiert, daß diese nicht nur immer kleiner werden, was sie sowieso müssen, sondern darüber hinaus noch jeweils einen ``relativen Sicherheitsabstand'' voneinander haben. Es bezeichne $B(x,r)$ die abgeschlossene Kugel um $x$ mit dem Radius $r$, das Innere von $B(x,r)$ sei mit $\mathop{\rm int}\nolimits B(x,r)$ bezeichnet.

Beweis. [Beweisskizze für den nichtdiskreten Fall] Der metrische Raum $K$ besitze einen Häufungspunkt $x_{0}$. Wähle $x_{1}\in K$ mit $0<d(x_{1},x_{0})\leq\frac{1}{2}$ und setze damit zunächst $r_{1}=\frac{1}{2}\,d(x_{0},x_{1})$ und $B_{1}=B(x_{1},r_{1})$ (wie im obigen Beweis) sowie $p_{1}=d(x_{0},B_{1})$. Definiere bei gegebenem $x_{n}$ induktiv $x_{n+1}$ mit der Eigenschaft $0<d(x_{n+1},x_{0})<\frac{1}{6}\,p_{n}$, wenn $r_{n}$, $B_{n}$ und $p_{n}$ wie für $n=1$ definiert sind. Man verifiziert nun nacheinander für alle $n\in {\mathbb{N}}$ die Tatsachen

$$r_{n}\leq p_{n},\quad p_{n+1}<\frac{1}{6}\,p_{n},\quad B_{n+1}\subseteq \mathop{\rm int}\nolimits B(x_{0},\frac{1}{2}\,p_{n})$$

und

$$d(B_{m},B_{n})\geq\frac{1}{2}\,p_{n} \quad m>n$$ (6)

sowie

$$d(x,\widetilde{B}_{n})\leq 3\,p_{n} \quad x\in K.$$ (7)

Mit den letzten beiden Ungleichungen erhält man schließlich leicht die entscheidende Abschätzung (endlich einmal mit einer schönen oberen Schranke!)

$$\frac{d(x,\widetilde{B}_{m})+d(y,\widetilde{B}_{n})}{d(B_{m},B_{n})}<7 \mbox{f\uml ur $x\in B_{m}$, $y\in B_{n}$\ und $m\neq n$.}$$ (8)

Wieder ergibt sich nach Konstruktion $d(x,\widetilde{B}_{n})\leq 1$ für alle $x\in K$ (siehe (2.3.7)) und $n\in {\mathbb{N}}$, und man sieht, daß nur noch die beiden ``ersten Fälle'' abzuhandeln sind, wenn man sonst alle weiteren Definitionen aus dem obigen Beweis übernimmt. Um die Beschränktheit von $\Vert T\Vert$ von oben zu zeigen, rechnen wir für $\Vert a\Vert _{\infty}\leq 1$, $x\in B_{m}$ und $y\in B_{n}$

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq\frac{d^{\beta_{m}}(x,\widetilde{B}_{m})+d^{\beta_{n}}(y,\wid... ...tilde{B}_{m})+d^{\alpha}(y,\widetilde{B}_{n})}{d^{\alpha}(x,y)}\cdot\frac{2}{2}$$

$$\leq 2\left(\frac{d(x,\widetilde{B}_{m})+d(y,\widetilde{B}_{n})}{2d(B_{m},B_{n})}\right)^{\alpha}<7,$$

wobei die vorletzte Abschätzung aus der Konkavität der Funktion $t\mapsto t^{\alpha}$ folgt. Man beachte, daß hier der Fall $\alpha=1$ auch abgedeckt ist. Der erste Fall für den Nachweis von $T(c_{0})\subseteq \ell ip(K)$ ist gegenüber dem obigen Beweis nur durch das Einführen eines $\delta''>0$ zu ergänzen, für welches $m>N$ und $n>N$ aus $d(B_{m},B_{n})\leq \delta''$ im Falle $m\neq n$ folgen soll (ein solches $\delta''$ existiert wegen (2.3.6)). Sei nun $d^{\alpha}(x,y)\leq (\min (\delta',\delta''))^{\alpha}$, dann folgt für $x\in B_{m}$ und $y\in B_{n}$ mit $m\neq n$ nach Wahl von $\delta''$ die Tatsache $m,n\geq N$ und damit

$$\frac{\vert f_{a}(x)-f_{a}(y)\vert}{d^{\alpha}(x,y)} \leq(\vert a_{m}\vert+\vert a_{n}\vert)\frac{d^{\beta_{m}}(x,\widetilde{B}_{m})+d^{\beta_{n}}(y,\widetilde{B}_{n})}{d^{\alpha}(x,y)}$$

$$\leq\left(\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\right)\cdot 7=7\varepsilon ,$$

wie gerade schon gesehen. Jetzt bleibt nur noch festzuhalten: Alles weitere geht völlig analog. $\qedsymbol$

Eine ``fast-isometrische'' Einbettung von $\ell ^{\infty }$ in $Lip(K)$ läßt sich, wie schon angedeutet, im nichtdiskreten Fall mit dieser Beweistechnik nicht finden. Der Versuch, $r_{n}=\lambda d(x_{n},x_{0})$ für ein $\lambda$ knapp unterhalb der $1$ zu setzen, rächt sich spätestens in Abschätzung (2.3.8), wo sich dann eine weitaus schlechtere obere Schranke als $7$ ergibt. Allerdings gibt es, und hier sei wieder auf Abschnitt 2.4 verwiesen, nichtdiskrete Fälle, in denen $Lip_{0}(K)\cong \ell^{\infty}$ gilt. Der hier konstruierte Unterraum $T(\ell^{\infty})$ von $Lip(K)$ wird im allgemeinen nach der vorliegenden Konstruktion ``sehr klein'' ausfallen. Dasselbe gilt für $T(c_{0})$. Was die Einbettbarkeit von $c_{0}$ in $\ell ip(K)$ angeht, gelten qualitativ die gleichen Aussagen wie im diskreten Fall: Es geht, wenn die Punkte $x_{n}$ ``gleichmäßig isoliert'' gewählt werden können.

Bemerkung 2.3.2   Man weiß natürlich von vornherein, daß es (für $0<\alpha\leq 1$) eine Projektion von $Lip(K^{\alpha})$ auf $T(\ell^{\infty})$ gibt, da jede isomorphe Kopie von $\ell ^{\infty }$ in einem Banachraum automatisch in diesem komplementiert ist. Letzteres ist gerade die Injektivität von $\ell ^{\infty }$ (siehe 2.f.2. in [35]), denn dieser Raum ist sogar ein $\mathcal{P}_{1}$-Raum, d.h. es existiert eine Projektion $P:X\to \ell^{\infty}$ mit $\Vert P\Vert=1$, wenn $\ell ^{\infty }$ Unterraum eines Banachraums $X$ ist (siehe zum Beweis S. 2 in [34] sowie III.5.22 a) in [55]). Wir werden in Kapitel 3 (Satz 3.1.9) sehen, daß $\ell ip(K^{\alpha})$ separabel ist, wenn $K$ (prä)kompakt ist. Johnson zeigt in [27] sogar die Umkehrung. Im Falle der Separabilität von $\ell ip(K^{\alpha})$ ist die Existenz einer Projektion von $\ell ip(K^{\alpha})$ auf $T(c_{0})$ auch schon im vorhinein gesichert, denn nach einem Satz von Sobczyk (siehe 2.f.5. in [35]) gibt es eine Projektion $P:X\to c_{0}$ mit $\Vert P\Vert\leq 2$, wenn $c_{0}$ Unterraum eines separablen Banachraums $X$ ist (vergleiche dazu III.5.22 b) in [55]). Das Theorem von Johnson gilt indes für beliebige metrische Räume.

Unter den Voraussetzungen des Theorems erhalten wir zwei Korollare, wovon eines eine Aussage über die Lage von $\ell ip(K^{\alpha})$ in $Lip(K^{\alpha})$ macht und das andere angesichts von Satz 1.1.22 einen Unterschied zwischen $\ell ip(K^{\alpha})$ und $Lip(K^{\alpha})$ aufzeigt.

Korollar 2.3.3   Sei $0<\alpha <1$ und $K$ wie in Theorem 2.3.1. Dann ist $\ell ip(K^{\alpha})$ nicht isomorph zu einem Dualraum.

Beweis. [Beweis] Nach Lindenstrauss [34, S. 16] ist ein Banachraum $X$ komplementiert in seinem Bidual, wenn er komplementiert in einem Dualraum $Y'$ ist (wobei die Umkehrung auch gilt). Dies liegt daran, daß die Adjungierte $(i_{Y})'$ der natürlichen Einbettung $i_{Y}:Y\to Y''$ eine (sogar normerhaltende) Projektion von $Y'''$ auf $Y'$ liefert, letztlich also auch eine Projektion von $X''$ auf $X$ (vergleiche den detaillierten Beweis von 3.2.23 in [40]). Im Falle $X=c_{0}$ und $Y'\simeq \ell ip(K^{\alpha})$ wäre also $c_{0}$ komplementiert in $c_{0}''\cong \ell^{\infty}$ -- ein Widerspruch. $\qedsymbol$

Korollar 2.3.4   Sei $0<\alpha <1$ und $K$ wie in Theorem 2.3.1. Dann ist $\ell ip(K^{\alpha})$ nicht komplementiert in $Lip(K^{\alpha})$.

Beweis. [Beweis] Angenommen, es gäbe eine Projektion $\widetilde{P}:Lip(K^{\alpha})\to \ell ip(K^{\alpha})$, so wäre mit der Projektion $P:Lip(K^{\alpha})\to T(\ell^{\infty})$ aus dem Beweis des Theorems die Einschränkung von $\widetilde{P}P:Lip(K^{\alpha})\to T(c_{0})\subseteq \ell ip(K^{\alpha})$ auf $T(\ell^{\infty})$ eine Projektion von $T(\ell^{\infty})$ auf $T(c_{0})$ -- Widerspruch. $\qedsymbol$

Wir notieren noch eine wesentliche Verallgemeinerung von Satz 1.2.1 (siehe auch Bemerkung 1.2.2).

Korollar 2.3.5   $Lip(K)$ enthält eine isomorphe Kopie von $\ell ^{\infty }$ und ist daher inseparabel, es sei denn der metrische Raum $K$ ist endlich und damit $Lip(K)$ endlichdimensional.

Bemerkung 2.3.6   Wie bereits zu Beginn dieses Abschnitts angedeutet wurde, gibt es bis heute noch einige offene Fragen hinsichtlich der Klassifikation von Lipschitzräumen in Isomorphietypen. Eine der wichtigsten lautet sicher: Ist für kompakte metrische Räume $K$ und $0<\alpha <1$ stets $\ell ip(K^{\alpha})\simeq c_{0}$ und $Lip(K^{\alpha})\simeq \ell^{\infty}$? Um dies zu zeigen, reicht es, die Isomorphie für den kleinen Hölderraum nachzuweisen, denn wir dürfen uns jetzt schon auf die bemerkenswerte Aussage $\ell ip(K^{\alpha})''\cong Lip(K^{\alpha})$ (für kompakte $K$) freuen, die wir in Kapitel 3 ausfühlich diskutieren werden. Man weiß allerdings noch nicht einmal, ob $\ell ip(K^{\alpha})$ eine Schauderbasis besitzt. Für nichtkompaktes $K$ ist dies, und auch $\ell ip(K^{\alpha})\simeq c_{0}$, nie richtig, denn in diesem Fall ist $\ell ip(K^{\alpha})$, wie oben (siehe Korollar 2.3.4) schon bemerkt und in Satz 3.1.9 notiert, noch nicht einmal separabel. Könnte man die Injektivität von $Lip(K^{\alpha})$ zeigen, so hätte man gemäß Johnson [27] auch die Isomorphie $Lip(K^{\alpha})\simeq \ell^{\infty}$. Für den Fall $\alpha=1$ können wir bisher lediglich $Lip([0,1])\simeq \ell^{\infty}$ nach Peczynski (siehe Bemerkung 2.1.4) als ``positives'' Ergebnis festhalten. Dieses gilt allerdings (mit dem Vorgehen wie in Satz 1.2.3) für jedes kompakte Intervall $I\subseteq {\mathbb{R}}$ und nach einer Beobachtung von Johnson damit auch für jedes nichtendliche Kompaktum $K\subseteq {\mathbb{R}}$. Ist dieses nämlich in einem kompakten Intervall $I$ enthalten, kann man jedes $f$ linear und normgleich in jeder Komponente von $I\backslash K$ zu einem Element $j(f)\in Lip(I)$ fortsetzen (siehe auch Satz 1.1.20). $j$ ist damit ein Isomorphismus von $Lip(K)$ auf $j(Lip(K))\subseteq Lip(I)\cong \ell^{\infty}$ und $j\circ i$ (wenn $i:Lip(I)\to Lip(K)$ die Restriktionsabbildung ist) eine (normerhaltende) Projektion von $Lip(I)$ auf $j(Lip(K))$. Es ist somit $Lip(K)$ (isometrisch) isomorph zu einem komplementierten Unterraum von $\ell ^{\infty }$. Hieraus folgt aber sofort $Lip(K)\simeq \ell^{\infty}$, denn $\ell ^{\infty }$ ist prim (nach Theorem 2.a.7. in [35], für dessen Beweis einmal mehr die Dekompositionsmethode von Peczynski zur Anwendung kommt). Dieser Beweisgedanke ist uns natürlich aus Abschnitt 2.2 (vergleiche mit dem Beweis des Satzes 2.2.11 und dem mißglückten Versuch in Bemerkung 2.2.12 -- hier ist $j$ linear!) bereits bestens vertraut. Leider ist der Versuch, dieses Ergebnis auch nur ``eine Dimension höher zu heben'', zum Scheitern verurteilt, denn der Fall $\alpha=1$ ist auch für die großen Lipschitzräume (und nicht nur, wie schon in Bemerkung 1.1.14 gesehen, für die kleinen) ein besonderer. So findet man zum Beispiel in einem Artikel von E.  Mayer-Wolf [38] aus dem Jahre 1981 die Bemerkung, Y.  Benyamini (sein Doktorvater) und P.  Wojtaszczyk hätten beobachtet, daß aus einer Arbeit von S. V. Kislyakov [30] die Tatsache $Lip(I^{2})\not\simeq \ell^{\infty}$ folgt, wenn $I^{2}$ das Einheitsquadrat im euklidischen ${\mathbb{R}}^{2}$ ist. Ein etwas greifbareres, aber ``unendlichdimensionales'', Beispiel findet sich wieder bei Johnson in [28], der für den bekannten (kompakten) Hilbertwürfel $K$ in $\ell^{2}$ (mit der von dort geerbten Metrik) die Nicht-Injektivität von $Lip(K)$ zeigt. In der gleichen Arbeit wird sogar ein Lipschitzraum $Lip(K)$, der die Approximationseigenschaft nicht besitzt, angegeben. Leider ist $K$ zu diesem Zweck recht unhandlich, wiewohl für den Beweisgedanken nach Lindenstrauß ``kanonisch'' einfach als die Einheitskugel des berühmt-berüchtigten von Per Enflo gefundenen Raums ohne Approximationseigenschaft gewählt. Für kompakte $K$ kennt man bislang keinen großen Lipschitzraum ohne die Approximationseigenschaft. Insgesamt scheinen die obigen Beispiele und die bisher zusammengestellten Ergebnisse nahezulegen, daß die Klasse der Lipschitzräume eine relativ große ist, wohingegen die Hölderräume offenbar leichter zu handhaben sind.