Lipschitzräume über Kompakta in ${\mathbb{R}}^{m}$

Es ist angesichts des im letzten Abschnitt erhaltenen Isomorphie-Resultats von Ciesielski naheliegend zu fragen, ob $Lip(K)\simeq \ell^{\infty}$ und $\ell ip(K)\simeq c_{0}$ neben $K=[0,1]$, versehen mit einer Höldermetrik, auch für allgemeinere metrische Räume $K$ gilt. Als erstes wird man dabei natürlich an Teilmengen des ${\mathbb{R}}^{m}$, $m\in {\mathbb{N}}$, denken. Genau dies haben R. Bonic, J. Frampton und A. Tromba in [5] im Jahre 1969 getan. Da ihre Überlegungen auch für Banachraumwertige Lipschitzfunktionen gelten, wollen auch wir die Räume $Lip(K^{\alpha},X)$ und $\ell ip(K^{\alpha},X)$, $0<\alpha <1$, von Hölderfunktionen, definiert auf einer kompakten Teilmenge $K$ des euklidischen $({\mathbb{R}}^{m},\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{2})$ mit Werten in einem Banachraum $(X,\Vert\,{\cdot}\,\Vert)$ betrachten. Entsprechend sind die Folgenräume $\ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$ und $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ definiert, es sei denn es handelt sich um die üblichen Räume reell- oder komplexwertiger Folgen. Um nicht in die Verlegenheit zu kommen, endlichdimensionale Lipschitzräume zu erhalten, sollten unsere Mengen $K$ natürlich stets unendliche Mächtigkeit haben. Wie immer im Endlichdimensionalen ist indes die Wahl der Norm (hier $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{2}$) unerheblich. Im übrigen sind die Lipschitzräume, wie vereinbart, mit der Lipschitznorm $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{L}$ aus Definition 1.1.1 versehen.

Mit einer Konstruktion, die stark von der speziellen Struktur, sprich der Endlichdimensionalität, des zugrundegelegten Raums ${\mathbb{R}}^{m}$ ausgeht, erhalten Bonic, Frampton und Tromba das folgende bemerkenswerte

Theorem 2.2.1   Sei $0<\alpha <1$, $m\in {\mathbb{N}}$ und $X$ ein Banachraum. Dann gilt:

1. Für endliche $m$-Simplizialkomplexe $K\subseteq {\mathbb{R}}^{m}$ ist der große Lipschitzraum $Lip(K^{\alpha},X)$ isomorph zum Folgenraum $\ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$.
2. Der kleine Lipschitzraum $\ell ip(K^{\alpha},X)$ ist isomorph zu $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ sogar für alle (unendlichen) kompakten Teilmengen $K$ des ${\mathbb{R}}^{m}$.

Bemerkung 2.2.2   Der Beweis dieses Theorems benötigt einen technischen Vorlauf, dessen Ergebnisse wir uns nicht in allen Details zumuten wollen, denn einige Feinheiten sind für sich genommen wenig erhellend und zur Darstellung der Beweisstruktur auch nicht notwendig. Der zugrundeliegende Beweisgedanke ist indes durchaus einer Betrachtung wert und auch relativ leicht nachvollziehbar. Allerdings soll schon an dieser Stelle zugegeben werden, daß er einen Haken enthält, der relativ hartnäckig zu sein scheint. Hierauf wird in dem 1999 erschienenen Buch ``Lipschitz Algebras'' [52, 3.4] vom bereits bekannten Nik Weaver hingewiesen. Dieser ``improved'' in aller Bescheidenheit den nun folgenden Originalbeweis von Bonic, Frampton und Tromba ``in some minor ways'' (siehe [52, 3.6]), indem er zum einen Kuben anstelle von Simplexen betrachtet und schließlich den entsprechenden Isomorphismus etwas komplizierter definiert. Ob diese Modifikationen unbedingt nötig sind -- jedenfalls führen sie zu einem wasserdichten Beweis -- oder ob die Schwachstelle im anschließend dargestellten Vorgehen ``schonender'' behoben werden kann, muß hier offen bleiben. Wir werden an der entsprechenden Stelle auf den Knackpunkt, der schon von manch einem übersehen wurde, hinweisen und im Zuge dessen auch etwas auf Weavers verbesserten Ansatz eingehen.

Der Beweis des Theorems wird von Bonic, Frampton und Tromba, und darin besteht die Hauptarbeit, zunächst für das Standardsimplex $T=T^{0}$, aufgespannt durch eine Orthonormalbasis $\{e_{1},...,e_{m}\}$ des ${\mathbb{R}}^{m}$, geführt. Über ein Halbieren seiner Kanten, bzw. über die Mittelpunkte seiner $1$-Teilsimplexe, kann man dieses in $2^m$ Teilsimplexe (bzw. genauer systematisch in sogenannte ``rechts-$m$-Simplexe'') zerlegen, deren Durchmesser jeweils $\mathop{\rm diam}\nolimits (T)/2$ ist. Bezeichnet man diese Zerlegung mit $T^{1}$ und die Teilsimplexe mit $T^{1}_{i}$, $1\leq i\leq 2^{m}$, und setzt dieses Verfahren für jedes der $T^{1}_{i}$ fort, so erhält man fortgesetzte Zerlegungen $T^{n}$ von $T$ mit immer kleiner werdenden Teilsimplexen $T^{n}_{i}$, $1\leq i\leq 2^{mn}$. Nun sei für $n=0,1,\dots$ mit $\mathcal{S}^{n}$ die Menge aller in $T^{n}$ auftretenden Kanten $I^{n}_{j}$, $j=1,\dots,s(n)$, irgendeines $T^{n}_{i}$ bezeichnet, mit $\mathcal{V}^{n}$ entsprechend die Menge aller auftretenden Ecken auf dem ``Niveau'' $n$. Und natürlich faßt man zusammen:

$$\mathcal{S}:=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathcal{S}^{n}\:$$    und $$\; \mathcal{V}:=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathcal{V}^{n}.$$

Für $I\in\mathcal{S}$ definiert man noch $mI$ als den Mittelpunkt und $aI$ und $bI$ als die Endpunkte von $I$ und erhält über zwei technische Lemmata das folgende wichtige Teilergebnis.

Lemma 2.2.3   Es gelte für die Funktion $f:\mathcal{V}\to X$

$$\sup_{I\in\mathcal{S}}\frac{\Vert f(aI)-f(bI)\Vert}{\Vert aI-bI\Vert^{\alpha}_{2}}<\infty.$$

Dann existiert eine eindeutige Fortsetzung von $f$ zu einem Element aus dem Lipschitzraum $Lip(T^{\alpha},X).$

Beweis. [Beweisidee] Seien $u,v\in \mathcal{V}$ gegeben. Dann gilt $u,v\in \mathcal{V}^{n}$ für ein $n\in {\mathbb{N}}$, und es ist möglich, einen Weg zwischen $u$ und $v$ zu finden, der stückweise entlang der Richtungen der Koordinatenachsen $\{e_{1},\dots,e_{m}\}$ innerhalb von $\mathcal{S}^{n}$ verläuft, höchstens 2m ``Ecken'' hat und dessen Länge man, unabhängig von $n$ (!), durch $(2m+1)\Vert u-v\Vert _{2}$ abschätzen kann (dies ist das eine technische Lemma). Unter Benutzung der Voraussetzung kann man dann eine Konstante $M>0$ finden, für die

$$\frac{\Vert f(u)-f(v)\Vert}{\Vert u-v\Vert^{\alpha}_{2}}<M \quad \forall \, u,v\in \mathcal{V}$$

gilt (dafür benötigt man das andere technische Lemma, welches ``Umkehrungen'' gewisser Dreiecksungleichungen liefert, z.B. gilt für nichtnegative reelle $a,b$ die Ungleichung $a^{\alpha}+b^{\alpha}\leq 2^{1-\alpha}(a+b)^{\alpha})$. Damit ist $f$ auf $\mathcal{V}$ gleichmäßig stetig, besitzt also eine eindeutige stetige Fortsetzung auf den Abschluß von $\mathcal{V}$, und der ist gerade $T$. Diese Fortsetzung hat natürlich die gleiche Lipschitzkonstante (und das gleiche Supremum) wie $f$ und liegt damit in $Lip(T^{\alpha},X)$. $\qedsymbol$

Jetzt definiert man für $f\in Lip(T^{\alpha},X)$ die Folge $T_{X}(f)=(\eta^{n}_{j})$, indem man setzt:

$$\eta_{j}^{0}(f)=f(v_{j}^{0}) \quad v_{j}^{0}\in \mathcal{V}^{0}<tex2html_comment_mark>142$$ (1)

und

$$\eta_{j}^{n}(f)=\frac{2f(mI_{j}^{n})-f(aI_{j}^{n})-f(bI_{j}^{n})}{2\Vert mI_{j}^{n}-aI_{j}^{n}\Vert^{\alpha}_{2}}\; n\geq 1.$$ (2)

Natürlich fällt diese Definition nicht vom Himmel. Ein kurzer Blick auf (2.1.3) (worin man $\chi_{2^m+k}$ durch $\chi_{2^m+k}^{(\alpha)}$ ersetzt) genügt, um einzusehen, daß es sich hier um den Versuch handelt, den Isomorphismus von Ciesielski auch für $T\subseteq {\mathbb{R}}^{m}$ mit $m\geq 2$ zu erhalten. Und es könnte sein (siehe Bemerkung 2.2.9), daß man es sich an dieser Stelle zu einfach gemacht hat und die Definition für $m\geq 2$ ``zu schwach'' ist, um die Aussage des folgenden Satzes sicherzustellen. Dennoch soll er hier zusammen mit seinem Beweis zur Diskussion gestellt werden.

Satz 2.2.4   Die Abbildung $T_{X}:Lip(T^{\alpha},X) \to \ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$ ist ein Isomorphismus, unter welchem $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ als Bild des kleinen Lipschitzraums $\ell ip(T^{\alpha},X)$ auftritt.

Beweis. [Beweis] Es ist wie bei Ciesielski offensichtlich, daß $T_{X}:Lip(T^{\alpha},X) \to \ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$ eine wohldefinierte kontrahierende lineare Abbildung ist. Auch die Injektivität von $T_{X}$ ist leicht, denn gilt $T_{X}(f)=0$, so ist $f=0$ auf $\mathcal{V}^{0}$ und dann sukzessive $f=0$ auf $\mathcal{V}^{n}$ für alle $n$. Aus der Dichtheit von $\mathcal{V}$ in $T$ folgt dann $f=0$.

Für die Surjektivität muß man sich wie immer mehr anstrengen, und hierfür war auch der technische Aufwand, der zu Lemma 2.2.3 führte, vonnöten. Zu einer gegebenen Folge $(\eta^{n}_{j})\in \ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$ konstruiert man induktiv eine Folge stückweiser linearer Funktionen $(f_{n})$ von $T$ nach $X$, indem man $f_{0}(v_{j}^{0})=\eta_{j}^{0}$ setzt und $f_{0}$ sonst linear auf $T$ erweitert. Dies ist bei Simplexen immer möglich. (Mit Quadern statt Simplexen wäre diese Konstruktion denn auch etwas difficiler, siehe Bemerkung 2.2.9.) Bei gegebenem $f_n$ definiert man auf $\mathcal{V}^{n}$ zuerst $f_{n+1}=f_{n}$ und dann gewissermaßen als Umkehrung von (2.2.2)

$$f_{n+1}(mI_{j}^{n})=\frac{1}{2}(f_{n}(aI_{j}^{n})+f_n(bI_{j}^{n}))+\eta_{j}^{n}\Vert mI_{j}^{n}-aI_{j}^{n}\Vert^{\alpha}_{2},$$

so daß $f_{n+1}$ auf $\mathcal{V}^{n+1}$ definiert ist und auf ganz $T$ durch lineare Fortsetzung auf jedem $T^{n+1}_{i}$ erweitert werden kann.

Jetzt wird gezeigt, daß die Folge $(f_{n})$ gleichmäßig auf $T$ gegen ein (aus diesem Grunde) stetiges $f$ konvergiert. Das gelingt genauso wie bei Ciesielski über eine geometrische Reihe (völlig analog zu den ``Dreiecken'' $\varphi^{(\alpha)}_{2^m+k}$ betrachtet man hier $f_{n+1}-f_{n}$). Da $f_{n}$ auf jedem $I_{j}^{n}$ linear ist, haben wir zunächst

$$2(f_{n+1}-f_{n})(mI_{j}^{n}) =f_{n}(aI_{j}^n)+f_n(bI_{j}^{n})+2\eta_{j}^{n}\Vert mI_{j}^{n}-aI_{j}^{n}\Vert^{\alpha}_{2}-2f_{n}(mI_{j}^{n})$$

$$=2\eta_{j}^{n}\Vert mI_{j}^{n}-aI_{j}^{n}\Vert^{\alpha}_{2}.$$

Die Länge eines jeden $I_{j}^{n}$ ist beschränkt durch $2^{-n}\sqrt{m}$, so daß

$$\Vert(f_{n+1}-f_{n})(mI_{j}^{n})\Vert\leq \Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}\frac{m^{\frac{\alpha}{2}}}{2^{(n+1)\alpha}}$$

folgt und damit wegen $f_{n+1}-f_{n}=0$ auf $\mathcal{V}^{n}$ sogar

$$\Vert f_{n+1}-f_{n}\Vert _{\infty}=\sup_{j}\Vert(f_{n+1}-f_{n})(m... ...Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}\frac{m^{\frac{\alpha}{2}}}{2^{(n+1)\alpha}}.$$

Also gilt $\sum_{n=0}^{\infty}\Vert f_{n+1}-f_{n}\Vert _{\infty}\leq\infty$, womit aus der Vollständigkeit von $X$ zunächst die Existenz des punktweisen Grenzwerts $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(f_{n+1}-f_{n})(x)$ $=\lim_{n\to \infty}f_{n}(x)$ in $X$ für $x\in T$ folgt und schließlich auch die Stetigkeit von $f$ (als Funktion von $T$ nach $X$) gesichert ist. Nach Konstruktion erfüllt $f$ die Gleichungen (2.2.1) und (2.2.2), so daß $T_{X}(f)=(\eta^{n}_{j})$ gilt, wenn $f\in Lip(T^{\alpha},X)$ nachgewiesen werden kann. Und hier kommt Lemma 2.2.3 zum Zuge. Sei für $n\in {\mathbb{N}}_{0}$ zunächst

$$M_{n}=\sup_{I\in\mathcal{S}^{n}}\frac{\Vert f(aI)-f(bI)\Vert}{\Vert aI-bI\Vert^{\alpha}_{2}}.$$

Für $I\in \mathcal{S}^{n}$ gilt aber die Ungleichung

$$\begin{split}& \frac{\Vert f(mI)-f(aI)\Vert}{\Vert mI-aI\Vert... ...t f(bI)-f(aI)\Vert}{\Vert bI-aI\Vert^{\alpha}_{2}}. \end{split}$$

Nun ist es natürlich alles andere als wahr, daß jedes Element von $\mathcal{S}^{n+1}$ die Form $[aI,mI]$ oder $[mI,bI]$ für ein $I\in \mathcal{S}^{n}$ hat, aber wäre das der Fall, so könnte man mit dieser Ungleichung nach Bilden des Supremums auf beiden Seiten die Abschätzung

$$M_{n+1}\leq \Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}+2^{\alpha-1}M_{n}$$ (3)

gewinnen. Das ist der eingangs schon angekündigte Knackpunkt des Beweises. Wir wollen hier jedoch in Anerkennung der Ideen von Bonic, Frampton und Tromba den Beweisgedanken zu Ende führen, bevor wir in Bemerkung 2.2.9 auf diese Beweislücke gesondert zu sprechen kommen.

Durch Iteration erhalten wir unter Berücksichtigung von $(2^{(n+1)})^{(\alpha-1)}\leq 1$ und $M_{0}\leq 2$ aus (2.2.3) nach Definition von $f(v_{j}^{0})$ schließlich

$$M_{n+1} \leq\Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}(1+2^{\alpha-1}+\dots+2^{n(\alpha-1)})+2^{(n+1)(\alpha-1)}M_{0}$$

$$\leq \Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}(1-2^{\alpha-1})^{-1}+2\Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty}$$

$$=(2+(1-2^{\alpha-1})^{-1})\Vert(\eta_{j}^{n})\Vert _{\infty},$$

d.h. eine Abschätzung unabhängig von $n$. Damit sind die Voraussetzungen zur Anwendung von Lemma 2.2.3 erfüllt, welches nun $f\in Lip(T^{\alpha},X)$ und damit die Surjektivität von $T_{X}$ liefert. Die Stetigkeit von $T_{X}^{-1}$ folgt aus dem Satz über die offene Abbildung. (Versucht man, über die obige Ungleichung und die beteiligten Lemmata der Vorüberlegungen eine Abschätzung für die Norm von $T_{X}^{-1}$ zu erhalten, so findet man für $m=1$ die obere Schranke $\frac{3\cdot 2^{5-3\alpha}-2}{(2^{\alpha}-1)(2^{1-\alpha}-1)}$, die zumindest im Nenner an schon Dagewesenes erinnert.)

Wieder analog zu Ciesielskis eindimensionalem Fall erkennt man den Isomorphismus zwischen $\ell ip(T^{\alpha},X)$ und $c_{0}({\mathbb{N}},X)$. Zunächst bemerkt man, daß nach Definition $T_{X}$ den Raum $\ell ip(T^{\alpha},X)$ in $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ abbildet. Des weiteren ist das Bild $T_{X}(\ell ip(T^{\alpha},X))$ dicht in $c_{0}({\mathbb{N}},X)$, denn zu $(\eta^{n}_{j})\in c_{0}({\mathbb{N}},X)$ mit $\eta^{n}_{j}=0$ für $n\geq n_{0}$ ist $f_{n}=f_{n_{0}}$ für alle $n\geq n_{0}$, also $T_{X}^{-1}((\eta^{n}_{j}))=f_{n_{0}}$ stückweise (genauer: auf jedem $T^{n_{0}}_{i}$) linear. Insbesondere erfüllt $f_{n_{0}}$ auf $T$ sogar eine Lipschitzbedingung bezüglich der euklidischen Metrik $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{2}$ und liegt damit nach Satz 1.1.19 erst recht im Hölderraum $\ell ip(T^{\alpha},X)$. $\qedsymbol$

Bevor wir in Bemerkung 2.2.9 etwas intensiver auf die aufgetauchte Beweislücke eingehen werden, wollen wir zunächst -- unter der Annahme, daß sich der Beweis retten läßt -- noch ein paar nette ``Abfallprodukte'' der obigen Gedankengänge einsammeln. Zieht man im Falle $X={\mathbb{K}}$ (d.h. ${\mathbb{R}}$ oder ${\mathbb{C}}$) die Einheitsvektorbasis von $c_{0}$ mittels $T_{{\mathbb{K}}}$ zurück in den Raum $\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})$, sieht man mit der letzten Überlegung (vergleiche wieder Ciesielski):

Korollar 2.2.5   $\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})$ hat eine unbedingte Basis, die aus stückweise linearen Funktionen besteht.

Abbildungen mit endlichdimensionalem Bild spielen in der Banachraumtheorie (und gewiß nicht nur dort!) eine besondere Rolle (vgl. II.3.6 in [55]). Da wir Banachraum-wertige Lipschitzfunktionen betrachten, können wir auch nach Lipschitzfunktionen mit endlichdimensionalem Bild fragen. So erscheint in diesem Zusammenhang das folgende nebenbei erhaltene Ergebnis recht interessant.

Korollar 2.2.6   Die Funktionen in $\ell ip(T^{\alpha},X)$ mit endlichdimensionalem Bild liegen dicht in $\ell ip(T^{\alpha},X)$.

Beweis. [Beweis] Zu $f\in \ell ip(T^{\alpha},X)$ und $(\eta^{n}_{j})=T_{X}(f)\in c_{0}({\mathbb{N}},X)$ betrachte einfach die im Beweis zum obigen Satz konstruierte Folge $(f_{n})$ stückweise linearer Funktionen (d.h. insbesondere Funktionen mit endlichdimensionalem Bild). $T_{X}(f_{n})$ ist dann eine Nullfolge mit nur endlich vielen nichttrivialen Einträgen, wobei $T_{X}(f_{n})\to T_{X}(f)$ in $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ gilt (``Auffüllen weiterer Einträge''), also auch $f_{n}\to f$ in $\ell ip(T^{\alpha},X)$. $\qedsymbol$

Da nach obigen Überlegungen die betrachtete Folge $(f_{n})$ sogar Lipschitz-stetig bezüglich der euklidischen Norm ist, erhält man gleichzeitig eine (dort schon angekündigte) Verallgemeinerung des Satzes 1.2.7 von Musielak und Semadeni (die später noch weiter verallgemeinert wird).

Korollar 2.2.7   Die Menge $Lip(T,X)$ liegt dicht in $\ell ip(T^{\alpha},X)$ für $0<\alpha <1.$

Bemerkung 2.2.8   $T$ kann (mittels linearer Transformation) auch als beliebiges $m$-Simplex gewählt werden, schließlich auch als endlicher Simplizialkomplex. (Hierfür müßte der Beweis nur durch einen zusätzlichen Index für die Einzelsimplexe ergänzt werden.) Durch Triangulation kann man laut Bonic, Frampton und Tromba das Resultat sogar für kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten erhalten. Wir werden unten jedoch einen anderen Weg gehen, um die noch ausstehende Behauptung in Theorem 2.2.1 zu beweisen. Durch dieses Resultat werden wir dann in Abschnitt 2.4 mit einem bemerkenswerten Ergebnis von Wulbert Theorem 2.2.1 in seiner schönsten Form erhalten. Der obige Beweis bricht für $\alpha$ gleich 0 oder $1$ übrigens zusammen. Trotzdem liefert $T_{{\mathbb{K}}}$ auch im Falle $\alpha=0$ analog zu Satz 2.1.1 eine Schauderbasis von $C(T)$.

Bemerkung 2.2.9   Nun noch ein paar Worte zu der aufgetauchten Lücke im Beweis von Satz 2.2.4. Offenbar wurde von den Verfassern des Beweises -- und nicht nur von diesen -- die banale Tatsache übersehen, daß ein Element von $\mathcal{S}^{n+1}$ durchaus die Form $[mI_1,mI_2]$ für $I_1,I_2\in\mathcal{S}^n$ haben kann. Ja es sind gerade die Elemente dieser Form, und das kann man schon bei der ersten Zerlegung eines Dreiecks einsehen, welche die ``entscheidenden'' neuen Kanten einbringen. Damit wird natürlich die Herleitung einer Ungleichung der Gestalt (2.2.3) erheblich verkompliziert, wenn nicht unmöglich gemacht. Es ist -- und diese Frage kann hier nicht beantwortet werden -- sogar fraglich, ob mit der vorliegenden Definition von $T_{X}$ eine solche überhaupt existieren kann. Denn in dieser Definition ist der obige Fehler schon im Keim angelegt, da sich mit dieser der Wert $f_{n+1}(mI_{j}^{n})$ als Umkehrung von (2.2.2) im Beweis von Satz 2.2.4 nur aus ``zwei Quellen'' (nämlich $f_{n}(aI_{j}^{n})$ und $f_{n}(bI_{j}^{n})$) speist. Glücklicherweise profitieren wir hier von dem eigenartigen Phänomen, daß man es in mathematischen Veröffentlichungen viel öfter mit falschen Beweisen denn mit falschen Aussagen zu tun hat! Ein Blick auf den Ansatz von Weaver in Abschnitt 3.4 seines Buches [52] zeigt sogar, daß auch der obige Beweis -- es finden sich bei Weaver völlig analoge Abschätzungen -- ``eigentlich richtig'' ist.

Weaver behebt den obigen Mangel, indem er den Würfel $[0,\frac{1}{2}]^m$ im ${\mathbb{R}}^m$ einer fortgesetzten Halbierungsmethode unterzieht. Im $k$-ten Schritt hat er es dann mit neu konstruierten Ecken zu tun, deren Koordinaten sich alle als Brüche mit dem Nenner $2^{k}$ schreiben lassen. Ist $n$ die Anzahl all derjenigen Koordinaten einer solchen Ecke $v$, die sich nicht als Bruch mit dem Nenner $2^{k-1}$ schreiben lassen, so heißen die $M:=2^{n}$ Punkte $z_1,\dots,z_M$, die sich aus $v$ durch simultanes Addieren von $\pm 2^{-k}$ zu diesen entsprechenden Koordinaten ergeben, die Quellen von $v$. Diese sind schon Eckpunkte auf einem ``niedrigeren Niveau'' $\leq k-1$, so daß man damit in Analogie zu (2.2.2) den Wert eines $\eta:\mathcal{V}\to X$ durch die Definition

$$\eta(v)=2^{k\alpha}\left(f(v)-\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} f(z_i)\right)$$ (4)

für Ecken auf ``höherem Niveau'' festlegen kann, wenn für das erste die Definition in (2.2.1) übernommen wird. Und dieser feinsinnige Ansatz, $\eta(v)$ für neue Ecken $v$ als ``normalisierter Unterschied zwischen $f(v)$ und dem Durchschnittswert von $f$ an den Quellen von $v$'' zu definieren, ist solide genug, um eine zu (2.2.3) völlig analoge Ungleichung und damit ein beruhigendes Beweisende zu erhalten.

Nach diesen Absicherungen wollen wir für den Rest der Überlegungen zu Theorem 2.2.1 wieder auf den Originalartikel zurückkommen, ohne zu verschweigen, daß auch Weaver in [52, 3.5], und zwar sehr detailliert, die nun dargestellten Gedankengänge für seinen Fall nachvollzogen hat. Mit dem folgenden Resultat von G. Glaeser aus [13, S. 27-33], welches wir hier allgemeiner (der Beweis ist der gleiche) für Banachraum-wertige Funktionen formulieren, machen Bonic, Frampton und Tromba nun den Schritt von einem $m$-Simplex $T$ zu einer beliebigen kompakten Teilmenge $K$ des ${\mathbb{R}}^{m}$. (Vergleiche mit diesem Vorgehen auch die wesentlich einfachere Beobachtung für den großen Lipschitzraum im Fall $\alpha=1$ und $m=1$ in Bemerkung 2.3.6.)

Satz 2.2.10   Sei $K$ eine kompakte Teilmenge des ${\mathbb{R}}^{m}$, $T$ ein $K$ enthaltenes $m$-Simplex und $X$ ein Banachraum. Dann existiert zu jeder kleinen Lipschitzfunktion auf $K^{\alpha}$, $0<\alpha <1$, mit Werten in $X$ eine (``gutartige'') Fortsetzung zu einer solchen auf $T^{\alpha}$. Genauer: Es gibt eine stetige lineare Injektion

$$j: \ell ip(K^{\alpha},X)\to \ell ip(T^{\alpha},X),$$

so daß $j(f)_{\vert K}=f$ für jedes $f\in \ell ip(K^{\alpha},X)$ ist.

Damit erhält man jetzt erstaunlich schnell das begehrte Resultat:

Satz 2.2.11   Für unendliche Kompakta $K\subseteq {\mathbb{R}}^{m}$ gilt die Isomorphie

$$\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq c_{0}.$$

Beweis. [Beweis] Mit der Restriktionsabbildung $i:\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})\to \ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})$ und der Injektion $j$ aus Satz 2.2.10 ist $j\circ i$ eine Projektion von $\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})$ auf einen abgeschlossenen unendlichdimensionalen Unterraum von $\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})$, der isomorph zu $\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})$ ist. Wegen $\ell ip(T^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq c_{0}$ folgt nun sofort auch $\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq c_{0}$ aus der Tatsache, daß $c_{0}$ prim ist (siehe 2.a.3. in [35]: Peczynski und seine Dekompositionsmethode!). $\qedsymbol$

Bemerkung 2.2.12   An dieser Stelle wollen wir den Ereignissen, insbesondere Korollar 2.4.6 und Kapitel 3, etwas vorgreifen und darauf hinweisen, daß man aus dem Ergebnis von Satz 2.2.11 auch sofort $\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq \ell^{\infty}$ schließen kann. Dies wollen wir deshalb tun, um sicher zu gehen, daß die Behauptung auf alle Fälle richtig ist, denn es bietet sich angesichts der obigen Argumentation eine Möglichkeit an, sowohl Satz 2.2.10 als auch Satz 2.2.11 analog für den großen Lipschitzraum skalarwertiger Lipschitzfunktionen und $\ell ^{\infty }$ herzuleiten, die sich bei näherem Hinsehen aber als trugschlüssiger Versuch erweist: Man könnte das Analogon zum Satz von Glaeser in der Anwendung des Fortsetzungssatzes 1.1.20 von McShane sehen (wenn auch für ${\mathbb{K}}={\mathbb{C}}$ die Einbettung nicht normgleich wäre). $Lip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq \ell^{\infty}$ würde dann mit den gleichen Argumenten wie im Beweis zu Satz 2.2.11 aus der Tatsache, daß $\ell ^{\infty }$ prim ist (vgl. 2.a.7. in [35]), folgen. Der Haken an dieser Argumentation besteht in dem Umstand, daß die Fortsetzung von McShane nun leider im allgemeinen alles andere als eine lineare Fortsetzungsabbildung liefert. Wie schon zum Beweis von Satz 1.1.20 bemerkt und in Bemerkung 1.1.24 dargestellt, verhalten sich damit unsere Fortsetzungen von Lipschitzfunktionen wie Hahn-Banach-Fortsetzungen. Wir werden übrigens in einem anderen Zusammenhang bei der Betrachtung von Dualräumen von kleinen und großen Lipschitzräumen (im Anschluß an Lemma 4.1.4) auf einen Fall stoßen, in der eine (lineare) Hahn-Banach-Fortsetzungsabbildung auftaucht.

Jetzt seien noch ein paar Worte zu dem allgemeinen Ergebnis (ii) des Theorems 2.2.1 für einen beliebigen Zielbanachraum $X$ gesagt. Dieses erhält man durch Verwendung von Tensorprodukten über den folgenden

Satz 2.2.13   Ist $K$ eine kompakte Teilmenge des ${\mathbb{R}}^{m}$ und X ein Banachraum, dann gilt

$$\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\,\check{\otimes}\,X\cong \ell ip(K^{\alpha},X).$$

$X\,\check{\otimes}\, Y$ bezeichnet hierbei das Tensorprodukt, das durch Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts $X\otimes Y$ bezüglich der Norm entsteht, die durch die natürliche Injektion von $X\otimes Y$ in $\mathcal{L}(Y',X)$ induziert wird. (Mittels dieser Injektion wird $x\otimes y$ auf $(y'\to y'(y)\,x)$ abgebildet.) Wir wollen jedoch an dieser Stelle nicht weiter auf das Hantieren mit Tensorprodukten eingehen. Es sei hier lediglich festgehalten, daß in den Beweis der Isomorphie (nach einer Anwendung des Satzes von Hahn-Banach) der Satz 2.2.10 und das Korollar 2.2.6 Eingang finden.

Schließlich folgt mit den ``Rechenregeln'' $\ell ip(K^{\alpha},X)\simeq \ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\,\check{\otimes}\,X$ und $c_{0}\,\check{\otimes}\,X=c_{0}(X)$ mit dem Ergebnis $\ell ip(K^{\alpha},{\mathbb{K}})\simeq c_{0}$ der

Satz 2.2.14   Es ist $\ell ip(K^{\alpha},X)\simeq c_{0}(X)$ für kompaktes unendliches $K$ in ${\mathbb{R}}^{m}$.

Wegen $c_{0}(c_{0})\cong c_{0}$ (einzusehen mit dem ersten Cantorschen Abzählbarkeitsverfahren) hat man als

Korollar 2.2.15   Ist $X$ isomorph zu $c_{0}$, so auch $\ell ip(K^{\alpha},X).$

Bemerkung 2.2.16   Abschließend sei noch die Behauptung von Bonic, Frampton und Tromba wiedergegeben, daß für einen beliebigen kompakten metrischen Raum $(K,d)$ und einen Banachraum $X$ zumindest immer eine Einbettung von $Lip(K^{\alpha},X)$ in $\ell^{\infty}({\mathbb{N}},X)$ existiert, die $\ell ip(K^{\alpha},X)$ in $c_{0}({\mathbb{N}},X)$ einbettet. Diese wird folgendermaßen skizziert: Zu jedem $\varepsilon >0$ kann man eine Folge von Paaren $(x_{i},y_{i})\in X\times X$, $x_{i}\neq y_{i}$ $\forall i\in {\mathbb{N}}$, wählen, so daß zu jedem Paar $(x,y)\in X\times X$, $x\neq y$, ein $k\in {\mathbb{N}}$ existiert mit $d(x,x_{k})\leq \varepsilon d(x,y)$ und $d(y,y_{k})\leq \varepsilon d(x,y).$ Die Abbildung

$$j:f\mapsto \biggl(\frac{f(x_{i})-f(y_{i})}{d^{\alpha}(x_{i},y_{i})}\biggl)$$

sei dann für genügend kleines $\varepsilon$ die gewünschte Einbettung (modulo Konstanten, die man ja noch in die angegebene Folge einbringen kann). Wie man konkret das $\varepsilon$ und die Folge der Paare $(x_{i},y_{i})$ wählen kann bzw. muß, so daß man das $f$ aus $j(f)$ rekonstruieren kann, d.h. die Abbildung wirklich injektiv wird, bleibt aber unklar. Interessanterweise blieb dies auch J. A. Johnson, zu dessen Arbeiten wir im nächsten Abschnitt kommen werden, schleierhaft. Glücklicherweise konnten seine Zweifel in einer privaten Unterredung mit Professor Frampton ausgeräumt werden. Dieser offenbarte in dem Gespräch einen richtigen Beweis, wofür jener ihm dankte (siehe [27, S. 177]). Das Bestreben, diesen richtigen Beweis auch zu bekommen, mündete in einen anfangs recht vielversprechenden email-Kontakt mit Frampton, der allerdings dann mit dem Hinweis, daß Tromba schließlich auch noch da sei, im Sande verlief. Tromba seinerseits war offenbar derart indisponiert, daß er erst gar nichts von sich hören ließ. Aus der Behauptung kann man jedenfalls mit Satz 2.a.2. in [35] schließen, daß $\ell ip(K^{\alpha})$ wiederum einen komplementierten Unterraum enthält, der seinerseits isomorph zu $c_{0}$ ist. Wir werden einen solchen im folgenden Abschnitt für weitaus allgemeinere metrische Räume $K$ konkret angeben.