Die 3-Kugel-Eigenschaft von $H_{\alpha }^{0}$ in Teilräumen von $H_{\alpha }$

Jetzt wollen wir das obige Lemma 4.1.12 und damit unsere Methode, die 3-Kugel-Eigenschaft in Lipschitzräumen zu untersuchen, mit Leben füllen. Da wir zur Anwendung des Lemmas das Auffinden einer gleichmäßigen Approximation einer großen Lipschitzfunktion $h$ durch eine kleine Lipschitzfunktion $g$ mit dem Vergleich des Steigungsverhaltens von $h$ und $g$ verbinden müssen, beschränken wir unsere Betrachtungen auf die naheliegenden konkreten Lipschitzräume $H_{\alpha }^{0}$ und $H_{\alpha }$ für $0<\alpha <1$ mit der Norm $L_{\alpha}(\cdot)$, die wir in Abschnitt 1.2 schon etwas in den Griff bekommen haben. Den Hölderexponenten $\alpha$ halten wir dabei meist fest, so daß in den Steigungen $L_{xy}(\cdot)$, die nicht mit einem weiteren Index $\alpha$ versehen werden, bis auf kenntlich gemachte Ausnahmen auch stets von der Metrik $d^{\alpha}$ auf $[0,1]$ ausgegangen wird. Und da wir uns die Steigungen auch vorstellen wollen, betrachten wir zunächst Hölderräume reellwertiger Funktionen.

Abbildung 4.1: Die 3-Kugel-Eigenschaft am Beispiel der Wurzelfunktion

Beispiel 4.2.1   Wir beginnen mit dem einfachsten Beispiel einer großen Hölderfunktion, das uns einfällt, nämlich mit der Funktion $h:x\mapsto x^{\alpha}$ auf $[0,1]$, welche wir durch

$$g:x\mapsto\left\{ \begin{array}{cl} \varepsilon ^{1-\frac{1... ...mbox{ f\uml ur }\enspace \delta\leq x\leq 1 \end{array}\right.$$

mit einem gewissen $\varepsilon >0$ und $\delta=\varepsilon ^{\frac{1}{\alpha}}$ annähern wollen (siehe Abbildung 4.1). Da $g$ sogar eine Lipschitzfunktion zum Exponenten $1$ ist, liegt $g$ in $H_{\alpha }^{0}$, und da $g$ auf $[0,\delta]$ eine polygonale Annäherung an $h$ darstellt, folgt wie im Beweis zum Satz 1.2.20 auch $L_{\alpha}(g)=1$. Wählt man $\varepsilon =\varepsilon '\delta'$, so ist die Voraussetzung (4.1.1) von Lemma 4.1.12 erfüllt. Eigenschaft (4.1.2) gilt für die beiden Funktionen sofort global, denn es ist $L_{\alpha}(h-g)=1$.

Die Begründung ist sehr einfach, und wir wollen sie von nun an als Steigungsargument bezeichnen. Sowohl $h$ als auch $g$ sind beide monoton steigend, so daß aus $x<y$ stets $h(x)\leq h(y)$ und $g(x)\leq g(y)$ folgt. Daraus schließt man

$$\left. \begin{array}{l} 0\leq\frac{h(y)-h(x)}{(y-x)^{\alpha}... ...ightarrow -1\leq\frac{(h-g)(y)-(h-g)(x)}{(y-x)^{\alpha}}\leq 1$$

für alle $x,y\in[0,1]$ mit $x<y$. (Wegen $L_{0x}(h-g)\to 1$ für $x\to 0$ folgt schließlich $L_{\alpha}(h-g)=1$.)

Allgemein liefert uns das Steigungsargument die folgende Aussage (sogar für beliebige metrische Räume $K$), welche sich völlig analog beweisen läßt.

Lemma 4.2.2   Wenn zu einem $h\in B_{Lip(K)}$ (oder $B_{Lip_{0}(K)}$), jedem $\varepsilon '>0$ und jedem $\varepsilon >0$ ein $g\in (1+\varepsilon ')B_{\ell ip(K)}$ (oder $(1+\varepsilon ')B_{\ell ip_{0}(K)}$) existiert, so daß $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ ist und mit $h(x)\geq h(y)$ auch immer $g(x)\geq g(y)$ gilt, dann erfüllt $h$ die Forderung der 3-Kugel-Eigenschaft. Verschärft reicht es für diese Folgerung sogar, ein $g\in \ell ip(K)$ (oder $\ell ip_{0}(K)$) mit $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ und $L_{xy}(g)\leq 1+\varepsilon '$ sowie $h(x)\geq h(y)\Rightarrow g(x)\geq g(y)$ lediglich für $0<d(x,y)\leq\frac{\varepsilon }{\varepsilon '}$ zu finden.

Konkret haben wir damit zum Beispiel alle monotonen Funktionen in $H_{\alpha }$ im Griff.

Korollar 4.2.3   Für jedes monotone $h\in B_{H_{\alpha}}$ mit $0<\alpha <1$ ist die 3-Kugel-Eigenschaft erfüllt.

Beweis. [Beweis] O.B.d.A. sei $h\in B_{H_{\alpha}}$ monoton steigend und ein $\varepsilon >0$ gegeben. Wir verwenden die Separationseigenschaft (siehe Korollar 1.2.22), die wir für die Hölderräume $H_{\alpha }$ speziell mit Polygonen $g$ im Beweis zu Satz 1.2.20 (sogar mit $\varepsilon '=0$) gezeigt haben. Da diese Polygone in allen ihren Knoten $h$ interpolieren, sind auch sie monoton steigend, so daß aus Lemma 4.2.2 die Behauptung folgt. $\qedsymbol$

Bemerkung 4.2.4   Natürlich ist jetzt die Versuchung groß, mit Lemma 4.2.3 alle Funktionen von beschränkter Variation in $H_{\alpha }$ zu erschlagen, indem man diese als Differenz zweier monotoner Funktionen schreibt (siehe hierzu S. 62/63 in [4], insbesondere (3): Jordans Theorem), und sich dann dieser Einzelteile gesondert annimmt. Schaut man sich die 3-Kugel-Eigenschaft jedoch ``additiv zerlegt'' an, wird man schnell gewahr, daß man dieser Versuchung besser nicht nachgeben sollte.

Beispiel 4.2.5   Zur Illustration des Steigungsarguments wollen wir hier noch ein Analogon zu den gängigen Exemplaren von stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktionen (vergleiche zum Beispiel [31, S. 153 f]) betrachten. Unsere Funktion $h\in B_{H_{\alpha}}$ soll sich als Reihe $\sum_{k=1}^{\infty}h_{k}$ über die folgenden $h_{k}\in 2^{-k}B_{H_{\alpha}}$ zusammensetzen:

$$h_{k}(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 2^{-k}x^{\alpha} & \mbo... ...riodisch} & \mbox{auf $[0,1]$ fortgesetzt.} \end{array}\right.$$

Abbildung 4.2: $h_{1}$ und $g_{1}$

Abbildung 4.3: $h_{2}$ und $g_{2}$

Abbildung 4.4: $h_{3}$ und $g_{3}$

Abbildung 4.5: ... und die Summe

Die Funktionen $g_{k}$ gleichen die $h_{k}$'s an den Stellen, an denen die `` $x^{\alpha}$-Bögen'' ansetzen, symmetrisch durch Geradenstücke aus und stimmen ansonsten mit den $h_{k}$'s überein (siehe Abbildungen 4.2 bis 4.5). Die 3-Kugel-Eigenschaft kann nun bei vorhandenen $f_{i}\in B_{H_{\alpha}^{0}}$, $i=1,2,3$, separat für $h_{k}$ und $2^{-k}f_{i}$, $i=1,2,3$, und $\gamma_{k}=2^{-k}(1+\varepsilon )$ in den Kugeln $2^{-k}B_{H_{\alpha}}$ nachgewiesen werden (nach dem Steigungsargument sogar mit $\varepsilon =0$), wenn man $g_{k}$ nahe genug an $h_{k}$ wählt. In den folgenden Termen konvergieren die Reihen sowohl gleichmäßig als auch in der $L_{\alpha}(\cdot)$-Norm, und man erhält, nach Anwendung der 3-Kugel-Eigenschaft in jeder Kugel $2^{-k}B_{H_{\alpha}}$, für jedes $i\in\{1,2,3\}$

$$L_{\alpha}\left(\sum_{k=1}^{\infty}h_{k}-\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}... ...ha}(h_{k}-g_{k}+2^{-k}f_{i})\leq \sum_{k=1}^{\infty}\gamma_{k}=1+\varepsilon ,$$

so daß die 3-Kugel-Eigenschaft für $h$ mit $g:=\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}$ erfüllt ist.

Beispiel 4.2.6   Mittelfristiges Ziel unserer Bemühungen ist es natürlich, Methoden zu haben, mit welchen man ``in die Nähe'' eines konkreten zwischen $H_{\alpha }^{0}$ und $H_{\alpha }$ gelegenen Vektorraums vorstoßen kann, in dem $H_{\alpha }^{0}$ die 3-Kugel-Eigenschaft erfüllt. Auf dem Weg dahin wollen wir die nachfolgend definierte Funktion $h\in B_{H_{\alpha}}$ betrachten.

$$h(x):=\left\{ \begin{array}{cl} x^{\alpha} & \mbox{ f\uml ur... ... f\uml ur }\enspace \frac{3}{4}\leq x\leq 1 \end{array}\right.$$

Abbildung 4.6: Hölderfunktion mit drei ``kritischen Stellen''

Diese Funktion hat drei ``kritische Stellen'', nämlich $0,\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$, die durch eine geeignete Wahl von kurzen Geradenstücken ausgeglichen werden sollen. Die Funktion $g\in H_{\alpha}^{0}$ soll aus diesen Geradenstücken (siehe Abbildung 4.6) bestehen -- speziell ist $g$ in einer Umgebung von $\frac{3}{4}$ konstant gewählt -- und an allen weiteren Stellen gleich $h(x)$ definiert werden. Trivialerweise geht dann an der Stelle $\frac{3}{4}$ und auch an der Stelle 0 lokal das Steigungsargument durch, nicht jedoch an der Stelle $\frac{1}{4}$ (wiewohl man dort $g$ auch lokal konstant wählen könnte). Für $x$ nahe genug bei $\frac{1}{4}$ und $x<\frac{1}{4}<y$ kann man aber mit $(h-g)(x)=0$

$$\frac{\vert(h-g)(y)-(h-g)(x)\vert}{(y-x)^{\alpha}}\leq\frac{\vert(h-g)(y)-(h-g)(\frac{1}{4})\vert}{(y-\frac{1}{4})^{\alpha}}$$

abschätzen, und der rechte Quotient ist für $y$ nahe genug bei $\frac{1}{4}$ höchstens $1$, da $h$ und $g$ beide auf $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$ monoton fallen. Man sieht, daß nun Lemma 4.1.12 anwendbar ist.

Bemerkung 4.2.7   Obiges Beispiel suggeriert sehr heftig, daß man nun einen schönen einfachen Raum ``im Griff'' hat. Seien für $c\in [0,1]$ die Funktionen

$$h_{c}: x\mapsto \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{ f\uml ... ...} & \mbox{ f\uml ur }\enspace c\leq x\leq 1 \end{array}\right.$$

definiert und damit $H_{\alpha}^{c}$ als der von $H_{\alpha }^{0}$ und der Menge $\{h_{c}\}_{c\in [0,1]}$ aufgespannte Unterraum von $H_{\alpha }$ erklärt. Im folgenden wird nun der Versuch unternommen, mit unseren bisher entwickelten Methoden einzusehen, daß $H_{\alpha }^{0}$ die 3-Kugel-Eigenschaft in $H_{\alpha}^{c}$ erfüllt:

Zunächst gibt es nach Definition von $H_{\alpha}^{c}$ zu jedem $h\in B_{H_{\alpha}^{c}}$ ein $f\in H_{\alpha}^{0}$, so daß $\tilde{h}:=h-f$ eine Funktion ist, welche eine ``ähnliche'' Gestalt wie die in Beispiel 4.2.6 angegebene Funktion hat und nur an den endlich vielen Stellen, wo `` $x^{\alpha}$-Bögen'' starten, ``kritisch'' ist. Hat man an einer solchen Stelle eine Steigungsumkehr von $\tilde{h}$ (wie in $\frac{1}{4}$ oder $\frac{3}{4}$ in Beispiel 4.2.6), so kann man $\tilde{h}$ dort ``konstant ausgleichen'', findet keine Steigungsumkehr statt, so kann man (wie an der Stelle 0 in Beispiel 4.2.6) die `` $x^{\alpha}$-Bögen'' mit Geradenstücken der gleichen Steigung annähern.

Man definiert nun $\tilde{g}$ lokal um die ``kritischen Stellen'' gleich diesen Geradenstücken und wählt sonst $\tilde{g}(x)=\tilde{h}(x)$. Weiter denkt man natürlich jetzt an $g:=\tilde{g}+f$ -- und hat ein Problem. Mit dem Steigungsargument oder dem daraus gewonnenen Destillat in Form von Lemma 4.1.11, und dies möchte man hier ja anwenden, kann jetzt lokal lediglich $L_{xy}(h-g)=L_{xy}(\tilde{h}-\tilde{g})\leq L_{\alpha}(\tilde{h})$ -- also eine nichtsnutzige Abschätzung -- gezeigt werden. Und ``auf der Ebene von $h$ und $g$'' muß die Voraussetzung $h(x)\geq h(y)\Rightarrow g(x)\geq g(y)$ zur Anwendung von Lemma 4.2.2 nicht erfüllt sein, wie das Beispiel $\tilde{h}:x\mapsto x^{\alpha}$, $f:x\mapsto -x^{\alpha'}$ (mit $\alpha<\alpha'<1$) und $\tilde{g}$ wie in Beispiel 4.2.1 zeigt (für das in einer Umgebung der Null die Funktion $h=\tilde{h}+f$ monoton steigend und $g=\tilde{g}+f$ monoton fallend ist). Schließlich weiß man noch nicht einmal, ob $L_{\alpha}(g)\leq L_{\alpha}(h)$ gilt. Die hoffnungsfrohe Konstruktion scheitert also wie in Bemerkung 4.2.4 an der Tatsache, daß man beim Nachweis der 3-Kugel-Eigenschaft Schwierigkeiten bekommt, wenn man die betrachtete Funktion $h$ als Summe zweier ``einfacherer'' Funktionen behandeln möchte.

Man kann sich noch viele $H_{\alpha }$-Funktionen vorstellen, auch welche, bei denen sich obige ``kritische Stellen'' sogar häufen, für die unsere bisherigen ``Abschneidetechniken'' (siehe auch noch Lemma 4.2.9) im Sinne der 3-Kugel-Eigenschaft zum Erfolg führen, doch einen Vektorraum, in dem $H_{\alpha }^{0}$ ein $M$-Ideal ist, haben wir nach wie vor noch nicht gefunden. Zusammenfassend können wir also leider nur die folgende positive Aussage festhalten: Hat eine Funktion $h\in B_{H_{\alpha}}$ nur endlich viele ``kritische Stellen'' $x_{i}$, in deren Umgebung die $\ell ip$-Bedingung höchstens durch startende ( $h(x)=h(x_{i})+a(x-x_{i})^{\alpha}$, $a\in [-1,1]$) oder endende ( $h(x)=h(x_{i})+a(x_{i}-x)^{\alpha}$, $a\in [-1,1]$) ``Wurzelbögen'' verletzt ist, so erfüllt $h$ mit einem geeigneten $g\in B_{H_{\alpha}^{0}}$ die 3-Kugel-Eigenschaft. Wir werden später im Hinblick auf diese Eigenschaft einen über $H_{\alpha }^{0}$ liegenden Teilraum von $H_{\alpha }$ untersuchen, der solche Funktionen und sogar ganz $H_{\alpha}^{c}$ enthält, nachdem wir uns näher mit der Frage beschäftigt haben, wie denn die ``kritischen Stellen'' einer Funktion, in denen die $\ell ip$-Bedingung verletzt ist, formal faßbar sind. Im Zuge dessen werden wir dann auch ein etwas befriedigenderes Ergebnis erhalten. Doch zuvor erwarten uns noch einige unangenehmere Wahrheiten, vor denen wir unsere Augen nicht verschließen sollten.

Geht man von den Abschneidetechniken über kurze Geradenstücke, die in den bisherigen Beispielen zum Erfolg geführt haben, aus und versucht, diese für allgemeinere Hölderfunktionen zu systematisieren und handhabbar zu machen, stößt man schnell auf eine sich ganz natürlicherweise aufnötigende Idee. Man könnte eine Hölderfunktion $h$ durch Polygone annähern, welche in ihren Knoten $h$ interpolieren -- so wie es auch Krein und Petuin im Beweis von Satz 1.2.20 mit Erfolg betrieben haben. Die dahinterstehende stille Hoffnung ist natürlich, daß die Bedingung (4.1.2) zur Anwendung von Lemma 4.1.12 womöglich erfüllt ist, wenn man die Schrittweite, sprich den größten Abstand zweier Interpolationstellen, nur klein genug wählt.

Nahrung erhält dieser Ansatz noch aus zwei weiteren Erwägungen. Erstens verlieren wir nichts, wenn wir uns auf Polygone zur Annäherung von $h$ beschränken, da wir seit Satz 1.2.9 wissen, daß sogar die Menge aller rationalen Polygone dicht in $H_{\alpha }^{0}$ liegt -- sprich: Entweder ist die 3-Kugel-Eigenschaft für ein $h\in B_{H_{\alpha}}$ schon mit Polygonen $g\in H_{\alpha}^{0}$ erfüllt oder überhaupt nicht. Zweitens ließe sich der Ansatz mit interpolierenden Polygonen sehr schön auf weitaus allgemeinere Lipschitzräume übertragen, nämlich auf all jene, in denen die Separationsbedingung (siehe Theorem 3.5.3) erfüllt ist. Denn auch in diesen Räumen kann man jede Lipschitzfunktion $h\in B_{Lip(K)}$ durch eine $h$ in endlich vielen Stellen interpolierende kleine Lipschitzfunktion $g\in c\cdot B_{\ell ip(K)}$ (mit beliebigem $c>1$ für ${\mathbb{K}}={\mathbb{R}}$ oder $c>\sqrt{2}$ für ${\mathbb{K}}={\mathbb{C}}$) in der Supremumsnorm annähern -- in allgemeinen Hölderräumen kann man dies ja konkret (siehe Lemma 3.2.6 bei Jenkins) durch die Anwendung des Fortsetzungssatzes 1.1.20 von McShane erreichen -- und nichts anderes (siehe Satz 1.2.20) machen ja noch anschaulicher die Polygone in $H_{\alpha }$. Vor diesem Hintergrund ist es ausgesprochen ernüchternd, festzustellen, daß der Versuch, die 3-Kugel-Eigenschaft in $H_{\alpha }$ mit den vorgeschlagenen interpolierenden Polygonen nachzuweisen, scheitert. Das folgende Beispiel in $H_{1/2}$ zeigt, woran er scheitert.

Beispiel 4.2.8   Wir definieren mit der Folge $(\omega_{k})_{k=0}^{\infty}=(2^{-k})_{k=0}^{\infty}$ die Funktion $h\in B_{H_{1/2}}$ durch $h(0):=0$, $h(1):=1$ und weiter für $k\in {\mathbb{N}}$ durch

$$h(x):=\left\{ \begin{array}{ll} h_{k}(x):=\sqrt{\omega_{k-1}... ...ace \omega_{k}\leq x\leq\tilde{\omega}_{k}, \end{array}\right.$$

wobei $\tilde{\omega}_{k}$ als Schnittstelle der beiden ``Wurzelbögen'' durch $h_{k}(\tilde{\omega}_{k})=\tilde{h}_{k}(\tilde{\omega}_{k})$ gegeben ist (siehe Abbildung 4.7).

Abbildung 4.7: Das Scheitern einer naheliegenden Methode

Abbildung 4.8: Ausschnitt von $h$ auf $[\omega _{k+1},\omega _{k-1}]$ und Gerade $\bar{g}$

Sei nun $g$ ein beliebiges Polygon, welches (für ein gewisses $n\in {\mathbb{N}}$) an den Stellen $x_{0}:=0<x_{1}<\dots<x_{n-1}<x_{n}:=1$ seine Knoten hat und dort die Funktion $h$ interpoliert. Weiter sei $k\in {\mathbb{N}}$ so gewählt, daß $x_{1}\in [\omega_{k},\omega_{k-1}]$ ist. Nun liegt $g$ im Intervall $[0,\omega_{k-1}]$ sicher oberhalb der Geraden $\bar{g}$ durch die Punkte $(0,0)$ und $(\omega_{k},h_{k}(\omega_{k}))=(2^{-k},2^{-\frac{k-1}{2}}-2^{-\frac{k}{2}})$, welche die Steigung

$$m:=\frac{2^{-\frac{k}{2}}(2^{\frac{1}{2}}-1)}{2^{-k}}=2^{\frac{k}{2}}(2^{\frac{1}{2}}-1)$$

hat (vergleiche mit der Abbildung 4.8). Für $x\in (\omega_{k+1},\tilde{\omega}_{k+1}]$ gilt nach Konstruktion $\frac{h(x)-h(\omega_{k+1})}{(x-\omega_{k+1})^{1/2}}=-1$ und zwangsläufig $\frac{g(x)-g(\omega_{k+1})}{(x-\omega_{k+1})^{1/2}}>0$. Wir zeigen nun, daß der letzte Quotient (unabhängig von $k$) einen nicht zu vernachlässigenden Beitrag liefert, so daß, für $\varepsilon '$ klein genug, die Forderung $L_{xy}(h-g)\leq 1+\varepsilon '$ (siehe Lemma 4.1.12) lokal nicht erfüllt ist.

Zunächst beobachtet man, daß $\omega_{k}':=\frac{9}{16}\omega_{k-1}<\tilde{\omega}_{k}$ für alle $k\in {\mathbb{N}}$ ist, denn es gilt

$$h_{k}(\omega_{k}')=%%2^{-\frac{k-1}{2}}-\sqrt{\frac{7}{16}2^{-k}}... ...}\left(2^{-\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{16}}\right)=\tilde{h}_{k}(\omega_{k}').$$

Mit $\varDelta\omega_{k+1}:=\omega_{k+1}'-\omega_{k+1}=\frac{9}{16}\omega_{k}-\frac{8}{16}\omega_{k}=\frac{1}{16}2^{-k}$ können wir damit

$$L_{\omega_{k+1}\omega_{k+1}'}(g)\geq L_{\omega_{k+1}\omega_{k+1}'... ...frac{1}{16}2^{-k}}{\frac{1}{4}2^{-\frac{k}{2}}}=\frac{2^{\frac{1}{2}}-1}{4}=:a$$

mit $a>0$ von unten abschätzen und erhalten $L_{\omega_{k+1}\omega_{k+1}'}(h-g)\geq 1+a$ -- und zwar unabhängig von $k$.

Dieses Beispiel zeigt, daß die Voraussetzungen zur Anwendung von Lemma 4.1.12, welches aufbauend auf Bemerkung 4.1.9 ein natürlicher Ansatz zur Untersuchung der 3-Kugel-Eigenschaft vom kleinen im großen Lipschitzraum ist, für Polygone $g$, die unser spezielles $h$ in ihren Knoten interpolieren, nie erfüllt sind. Sie sind offenbar für kein Polygon erfüllt, welches $h$ in $[0,x_{1}]$ schneidet.

Es stellt sich jetzt natürlich die Frage, ob es überhaupt ein Polygon geben kann, mit welchem $h$ die 3-Kugel-Eigenschaft erfüllt, wenn all jene nicht in Frage kommen, an die man zuerst denkt. Man beachte hierzu auch das Ergebnis von Ciesielski in Abschnitt 2.1: Dort wird im Beweis zu Theorem 2.1.2 gezeigt, daß jedes $g\in H_{\alpha}^{0}$ durch (sogar mit der Schauderbasis ``aufgebaute'') Polygone in der Norm $L_{\alpha}(\cdot)$ approximiert werden kann, welche $g$ in ihren Knoten interpolieren -- und das war ja gerade der natürliche Ansatz. Wir werden jedoch gleich sehen, daß man sich von Analogien solcher Art nicht ins Bockshorn jagen lassen sollte. Schließlich bezeichnet man ein Vorgehen meist deshalb als ``natürlich'', weil einem nichts Besseres eingefallen ist!

Das Problem in Beispiel 4.2.8 ist, daß die obige Funktion $h\in B_{H_{1/2}}$ um die Stelle 0 ``sehr stark'' nicht in $H_{1/2}^{0}$ liegt. Zum einen häufen sich um $x_{0}=0$ Stellen $x<y$ mit $\frac{h(y)-h(x)}{(y-x)^{1/2}}=\pm 1$, und zum zweiten gilt darüberhinaus $L_{0y}(h)>\frac{2}{5}$ für alle $y\in (0,1]$, da $h$ -- wie man durch Betrachtung der lokalen Minima bei $\tilde{\omega}_{k}$ einsehen kann -- oberhalb der Funktion $x\mapsto \frac{2}{5}\sqrt{x}$ liegt. Trotzdem ist $h$, wie oben schon angedeutet, immer noch nicht ``schlimm genug'' gewählt, als daß man es nicht doch ``polygonal'' in den Griff bekommen könnte -- eben durch ein Polygon, welches $h$ nicht in seinen Knoten interpoliert. Denn erstens ist $h$ ``weg von der Null'', wo man den Steigungen von $h$ durch ein Polygon folgen kann, weitaus harmloser als um die Null, wo man $h$ einfach ``abschneiden'' kann.

Abbildung: Die Lösung: $\tilde{g}$ an $h$

Bei vorgegebenem $\varepsilon >0$ wähle $k'$ so groß, daß $\omega_{k'}\leq \varepsilon ^{2}$ ist, und definiere $\tilde{g}(x):=\sqrt{\omega_{k'}}$ auf $[0,\omega_{k'}]$. Weiter sei $\tilde{g}$ für alle $k\leq k'$ auf $[\omega_{k},\omega_{k-1}]$ als $h$ in seinen Knoten interpolierendes Polygon so gewählt, daß stets $\tilde{g}(\omega_{k})=h(\omega_{k})$ und $\Vert(h-\tilde{g})_{\vert[\omega_{k'},1]}\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ gilt (siehe Abbildung 4.9). Für $g:=\tilde{g}-\sqrt{\omega_{k'}}$ folgt dann (argumentiert wie im Beweis zu Satz 1.2.20) $g\in B_{H_{1/2}^{0}}$ und $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$. Weiter ist auch (4.1.2) und damit die Voraussetzung zur Anwendung von Lemma 4.1.12 erfüllt, denn man hat sogar $L_{1/2}(h-g)\leq 1$. Hierzu beobachte man zunächst, daß $\tilde{g}(x)\geq h(x)\enspace\forall x\in [0,1]$ gilt.

Im Fall $0\leq x<y\leq \omega_{k'}$ ist $L_{xy}(h-g)=L_{xy}(h)\leq 1$ klar. Für $0\leq x< \omega_{k'}<y$ kann man wegen $\tilde{g}-h\geq 0$ auf $[0,1]$ und o.B.d.A. mit $(\tilde{g}-h)(x)\geq (\tilde{g}-h)(y)$

$$L_{xy}(h-g) =\frac{\vert(\tilde{g}-h)(x)-(\tilde{g}-h)(y)\vert}{\vert x-y\ver... ...\leq\frac{\vert(\tilde{g}-h)(x)-0\vert}{\vert x-\omega_{k'}\vert^{\frac{1}{2}}}$$

$$=\frac{\vert h(\omega_{k'})-h(x)\vert}{\vert x-\omega_{k'}\vert^{\frac{1}{2}}}\leq L_{1/2}(h)\leq 1$$

abschätzen. Liegt im Falle $\omega_{k'}\leq x<y\leq 1$ keine Interpolationsstelle $\omega_{k}$, $k<k'$, zwischen $x$ und $y$, so schließt man $L_{xy}(h-g)\leq 1$ mit dem Steigungsargument, da $g$ und $h$ zwischen zwei Interpolationsstellen das gleiche ``Steigungsverhalten'' haben (sprich, dort entweder beide monoton steigen oder beide monoton fallen). Sei ansonsten $\omega_{k}$ die kleinste Interpolationsstelle mit $x<\omega_{k}< y$, so schließt man wegen $\tilde{g}-h\geq 0$ auf $[0,1]$ und o.B.d.A. $(\tilde{g}-h)(x)\geq (\tilde{g}-h)(y)$ wie oben

$$L_{xy}(h-g) =\frac{\vert(\tilde{g}-h)(x)-(\tilde{g}-h)(y)\vert}{\vert x-y\ver... ...}\leq\frac{\vert(\tilde{g}-h)(x)-0\vert}{\vert x-\omega_{k}\vert^{\frac{1}{2}}}$$

$$=\frac{\vert(\tilde{g}-h)(x)-(\tilde{g}-h)(\omega_{k})\vert}{\vert x-\omega_{k}\vert^{\frac{1}{2}}}\leq 1$$

wieder mit dem Steigungsargument auf $[x,\omega_{k}]$.

Holt man die Essenz aus der gerade, insbesondere für den letzten Fall, durchgeführten Argumentation, so läßt sich daraus ein kleines Lemma formulieren.

Lemma 4.2.9   Für ein $h\in B_{H_{\alpha}}$ existiere zu jedem $\varepsilon >0$ ein $h$ in seinen Knoten interpolierendes Polygon $g$ mit $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ und $h(x)\geq g(x)\enspace\forall x\in [0,1]$, so daß mit $x$ und $y$ zwischen zwei aufeinander folgenden Interpolationsstellen stets $h(x)\geq h(y)\Rightarrow g(x)\geq g(y)$ gilt. Dann folgt $L_{\alpha}(h-g)\leq 1$ und die 3-Kugel-Eigenschaft ist für $h$ erfüllt.

Statt der Voraussetzung $h(x)\geq g(x)\enspace\forall x\in [0,1]$ kann man auch

$$(0\leq g(x)\leq h(x)\enspace\vee\enspace h(x)\leq g(x)\leq 0)\quad\forall x\in [0,1]$$

oder äquivalent

$$(0\leq (h-g)(x)\leq h(x)\enspace\vee\enspace h(x)\leq (h-g)(x)\leq 0)\quad\forall x\in [0,1]$$

fordern, um das gleiche Ergebnis zu erhalten -- wobei man in beiden Bedingungen (vergleiche mit dem obigen Beispiel) die Rollen von $h$ und $g$ vertauschen kann. Bei der letztgenannten Voraussetzung kann man im Falle von verschiedenen Vorzeichen von $(h-g)(x)$ und $(h-g)(y)$ (und nur noch dieser Fall muß untersucht werden)

$$L_{xy}(h-g)=\frac{\vert(h-g)(x)-(h-g)(y)\vert}{\vert x-y\vert^{\a... ...eq\frac{\vert h(x)-h(y)\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}\leq L_{\alpha}(h)\leq 1$$

abschätzen. Diese Voraussetzung kann zum Beispiel bei Funktionen $h$ erfüllt werden, deren ``kritische Stellen'' aus `` $x^{\alpha}$-Peaks'' bestehen (vergleiche die Stellen $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ in Beispiel 4.2.6), die durch ein $g$ zur $x$-Achse hin ``abgeschnitten'' werden können. Im übrigen kann $g$ in obigem Lemma auch nur stückweise als Polygon vorliegen, wenn sonst $g(x)=h(x)$ gesetzt ist.

Durch ein geschicktes Anlegen eines Polygons an die Funktion $h$ aus Beispiel 4.2.8 ist es also doch noch möglich geworden, die 3-Kugel-Eigenschaft für $h$ nachzuweisen und auch dieses Beispiel noch zu ``retten''. Der Grund wurde schon genannt: Diese Funktion schlägt nur im Nullpunkt ``heftige Kapriolen'', und die Auseinandersetzung mit ihnen konnten wir, indem wir unser $g$ dort einfach konstant definierten, dezent umgehen. Diese Feigheit vor dem Feinde jedoch wird uns bei der folgenden Funktion nicht mehr weiterhelfen. Die Konstruktion dieser Funktion spinnt nämlich die Idee aus Beispiel 4.2.8, wo nur eine ``schlimme Stelle'' existiert, weiter mit dem Ziel, diese ``kritischen Stellen'' auf dem ganzen Einheitsintervall zu erzeugen.

Beispiel 4.2.10  

Wir definieren ausgehend von der Funktion $h_{0}\in B_{H_{\alpha}}$ mit $h_{0}(x):=x^{\alpha}$ die Folge $(h_{k})_{k=0}^{\infty}$ von Funktionen in $B_{H_{\alpha}}$ rekursiv durch die in den Abbildungen 4.10 und 4.11 veranschaulichte geometrische Konstruktion. Es entsteht mittels der von $h_{0}$ und der Funktion $\tilde{h}_{0}:x\mapsto 1-h_{0}(1-x)$ gegebenen ``Wurzeläste'' eine Figur, welche ihrem Aussehen zufolge (siehe Abbildung 4.10) von nun an als Mandelbereich oder schlicht als Mandel bezeichnet werden soll. Durch Halbierung des zu dieser Mandel gehörigen Intervalls (hier das Einheitsintervall) ergeben sich gemäß Abbildung 4.11 aus dem einen vorliegenden drei neue kleinere Mandelbereiche. Diese entstehen durch zusätzliche ``Wurzeläste'', welche zunächst vom Punkt $(\frac{1}{2},h_{0}(\frac{1}{2}))$ in beide Richtungen nach unten und dann vom einen Schnittpunkt $(\tilde{\omega},1-h_{0}(1-\tilde{\omega}))$ mit dem unteren Mandelrand analog nach oben ``geschossen'' werden.

Abbildung 4.10: $h_{0}$ und $\tilde{h}_{0}$

Abbildung 4.11: Mandelzerlegung

Konkret definieren wir die Funktion $h_{1}$ (siehe den Graphen in Abbildung 4.11) durch

$$h_{1}(x)=\left\{ \begin{array}{cl} x^{\alpha} & \mbox{ f\uml... ...ml ur }\enspace \tilde{\omega}\leq x\leq 1, \end{array}\right.$$

wobei $\tilde{\omega}$ als Schnittstelle der Funktionen $x\mapsto 1-(1-x)^{\alpha}$ und $x\mapsto (\frac{1}{2})^{\alpha}-(x-\frac{1}{2})^{\alpha}$ gegeben ist. Die ``Komplementärfunktion'' $\tilde{h}_{1}$ (in Abbildung 4.11 gestrichelt gezeichnet) ist definiert durch

$$\tilde{h}_{1}(x)=\left\{ \begin{array}{cl} (\frac{1}{2})^{\a... ...ml ur }\enspace \tilde{\omega}\leq x\leq 1. \end{array}\right.$$

Die Graphen der Funktionen $h_{1}$ und $\tilde{h}_{1}$ umfassen eine Fläche im Einheitsquadrat, in welcher der Graph einer Funktion in $B_{H_{\alpha}}$, der durch die Punkte $(0,0)$, $(\frac{1}{2},h_{1}(\frac{1}{2}))$, $(\tilde{\omega},h_{1}(\tilde{\omega}))$ und $(1,1)$ geht, höchstens verlaufen kann. $h_{1}$ und $\tilde{h}_{1}$ verlaufen entlang des Randes dieser Fläche und sind damit Extremalpunkte von $B_{H_{\alpha}}$. Entsprechendes gilt für alle weiteren noch zu konstruierenden $h_{k}$ sowie deren ``Komplementärfunktionen''.

Abbildung 4.12: Mandelzerlegung für Mandeln ``vom zweiten Typ''

Abbildung 4.13: $h_{2}$ mit (gestrichelter) Komplementärfunktion $\tilde{h}_{2}$

Die Funktion $h_{2}$ entsteht nun aus $h_{1}$, indem die drei neuen durch die ``Wurzeläste'' von $h_{1}$ und $\tilde{h}_{1}$ begrenzten Mandelbereiche wieder durch Halbierung der zugrundeliegenden Intervalle jeweils in drei weitere Mandelbereiche zerlegt werden. Die Mandeln über den Intervallen $[0,\frac{1}{2}]$ und $[\tilde{\omega},1]$ haben die gleiche Gestalt wie die ursprüngliche aus Abbildung 4.10 und werden ``analog behandelt''. Die nach links gekippte Mandel über $[\frac{1}{2},\tilde{\omega}]$ wird entsprechend Abbildung 4.12 zerlegt: Es entstehen über dem Intervall $[\frac{1}{2},\frac{1}{2}(\tilde{\omega}+\frac{1}{2})]$ zwei Mandeln: eine nach links gekippte Mandel ``vom zweiten Typ'' und eine kleinere, die erste am unteren Schnittpunkt $\circ$ der beteiligten ``Wurzeläste'' berührende, nach rechts gekippte, die wieder vom ``ersten Typ'' ist. Über $[\frac{1}{2}(\tilde{\omega}+\frac{1}{2}),\tilde{\omega}]$ ergibt sich eine nach links gekippte Mandel. So erhalten wir insgesamt die Funktion $h_{2}$ und ihre Komplementärfunktion $\tilde{h}_{2}$, deren Graphen in Abbildung 4.13 dargestellt sind, und die jetzt neun Mandelbereiche, welche wieder in die zwei Typen eingeteilt werden können, umschließen. Und weil's so schön ist -- spätestens jetzt ist klar, wie die Folge $(h_{k})$ rekursiv durch die Standardbehandlung der Mandeln dieser beiden Typen entsteht -- haben wir in Abbildung 4.14 noch die Graphen von $h_{3}$ und $\tilde{h}_{3}$ mit $27$ Mandelbereichen festgehalten.

Abbildung 4.14: Approximation der Mandelfunktion: $h_{3}$ und (gestrichelt) $\tilde{h}_{3}$

Die Konstruktion der Folge $(h_{k})$ soll natürlich auf eine Grenzfunktion hinauslaufen, nämlich auf genau diejenige, deren Graph für jeden Iterationsschritt $k\in{\mathbb{N}}_{0}$ in allen durch $h_{k}$ und $\tilde{h}_{k}$ umschlossenen Mandelbereichen liegt. Nun sind zwar die Funktionen $h_{k}$, $k\in{\mathbb{N}}_{0}$, alles Extremalpunkte in $B_{H_{\alpha}}$, welche paarweise (in der Norm $L_{\alpha}(\cdot)$) einen größeren Abstand als $1$ voneinander haben. In der Supremumsnorm jedoch konvergieren sie, ja sie liefern sogar über ihre lokalen Minima und Maxima sofort die Werte der Grenzfunktion auf einer dichten Menge von $[0,1]$. Denn jeder Hochpunkt $\bullet$ (bzw. Tiefpunkt $\circ$) einer Funktion $h_{k}$ -- vergleiche mit den Abbildungen 4.10 bis 4.13 -- ist auch Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) für alle $h_{\tilde{k}}$ mit $\tilde{k}>k$. Und aufgrund der durchgeführten Halbierungsmethode sieht man auch sofort, daß die Menge $M$ aller Stellen $x\in [0,1]$, für welche ein $h_{k}$ ein Minimum oder ein Maximum annimmt, dicht in $[0,1]$ liegt. So definieren wir also die Funktion $\tilde{h}$ auf $M$ durch

$$\tilde{h}(x):=\lim_{k\to \infty}h_{k}(x)\quad\forall x\in M.$$

$\tilde{h}$ ist Hölder-stetig auf $M$, denn es gilt sogar $L_{xy}(\tilde{h})=L_{xy}(h_{k})\leq 1$ für $x,y\in M$, $x\neq y$, wenn man $k$ nur groß genug wählt. Damit läßt sich $\tilde{h}$ (eindeutig) zu einer Funktion $h$ auf $[0,1]$, den Abschluß von $M$, fortsetzen. Diese Konstruktion ist Standard und liefert darüber hinaus mit $L_{xy}(\tilde{h})\leq 1\enspace\forall x,y\in M, x\neq y,$ auch $h\in B_{H_{\alpha}}$. Wir geben der so entstandenen Funktion $h$ liebevoll den Namen Mandelfunktion.

Die obige Konstruktion zeigt, daß nun in der Mandelfunktion ein Extremalpunkt der Einheitskugel $B_{H_{\alpha}}$ vorliegt, der an allen Stellen $x\in M$ dasjenige kritische Verhalten aufweist, welches wir vorher in Beispiel 4.2.8 nur für eine Stelle in $[0,1]$ realisiert haben. Konkret bedeutet dies zunächt, daß $h$ an allen Stellen $x\in M$ lokale Minima oder Maxima hat. Darüber hinaus folgert man, wenn man sich einem Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) von $h$ lokal auf `` $x^{\alpha}$-Bögen'' durch Tiefpunkte (bzw. Hochpunkte) nähert, die Tatsache

$$\limsup_{\substack{y\to x\\ x\neq y}} L_{xy}(h)=1\quad\forall x\in M,$$

das heißt, für die Mandelfunktion ist in allen Stellen $x\in M$ die $\ell ip$-Bedingung so verletzt, wie sie nur verletzt sein kann. Es gilt sogar noch mehr: Die Mandelfunktion hat an allen Stellen $x\in M$ nicht nur Extremwerte, sondern richtige ``Peaks'', d.h. ist lokal um jedes $x\in M$ ``in etwa so spitz'' wie die Funktion $x\mapsto x^{\alpha}$ in 0. Dies ist für $\alpha\neq\frac{1}{2}$ eine Vermutung, die durch die folgende Überlegung nahegelegt wird: Rechnet man, wie in Beispiel 4.2.8 schon geschehen, für $\alpha=\frac{1}{2}$ nach, auf welche Weise sich um einen Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) von $h$ lokal die weiteren Hochpunkte (bzw. Tiefpunkte) scharen, so stellt man wie in Beispiel 4.2.8 fest, daß $h$ in einer genügend kleinen Umgebung eines Minimums $x_{\circ}$ oberhalb der Funktion $x\mapsto\frac{2}{5}\vert x-x_{\circ}\vert^{\frac{1}{2}}+h(x_{\circ})$ und in einer genügend kleinen Umgebung eines Maximums $x_{\bullet}$ unterhalb der Funktion $x\mapsto h(x_{\bullet})-(\sqrt{2}-1)\vert x-x_{\bullet}\vert^{\frac{1}{2}}$ liegt. Es gilt also sogar

$$\liminf_{\substack{y\to x\\ x\neq y}} L_{xy}(h)\geq \frac{2}{5}\quad\forall x\in M$$

für die Mandelfunktion in $H_{1/2}$.

Jetzt liegt also in der Mandelfunktion ein offensichtlich genügend ``schwieriges'' bzw. genügend allgemeines Exemplar einer Funktion in $H_{\alpha}\backslash H_{\alpha}^{0}$ vor, an welcher man sich nun die Zähne ausbeißen kann. Man merkt schnell, wenn man sich im Hinblick auf unsere bisher gefundenen Methoden der polygonalen Annäherung mit der Mandelfunktion beschäftigt, daß einem sowohl bei dem Versuch, für $h$ die 3-Kugel-Eigenschaft mittels Polygonen und Lemma 4.1.12 nachzuweisen, als auch bei dem Versuch, das Gegenteil zu zeigen, die Epsilons und Deltas durch die Finger gleiten.

Betrachtet man die (``Test-'')Funktionen $f:x\mapsto x^{\alpha'}$ und $-f$ in $H_{\alpha }^{0}$ für $\alpha'>\alpha$ und $\alpha'$ nahe genug an $\alpha$, sieht man sofort, daß mit einem $\varepsilon '>0$ die Forderung $L_{0x}(h-g)\leq\varepsilon '$ für $x^{\alpha}\geq\delta'$ und einem kleinen $\delta'$ zur Erfüllung der 3-Kugel-Eigenschaft durch ein $g\in H_{\alpha}^{0}$ notwendig ist. Da auch $L_{0x}(h-g)\leq 1+\varepsilon '$ gelten muß, schließt man für $x^{\alpha}\leq\delta'$ die Ungleichung $\vert(h-g)(x)\vert\leq (1+\varepsilon ')\delta'$, so daß $g$, o.B.d.A. ein Polygon, notwendig die Funktion $h$ in der Supremumsnorm annähern muß, damit die 3-Kugel-Eigenschaft überhaupt eine Chance hat, erfüllt zu sein. Man könnte aus der Erfahrung von Beispiel 4.2.8 heraus vermuten, daß es ein solches Polygon nicht geben kann, da es, um $h$ in der $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{\infty}$-Norm anzunähern, zu stark steigen müßte und damit $L_{\alpha}(h-g)\leq 1+\varepsilon '$ verletzt wäre.

Das Problem bei einer solchen Konstruktion liegt jedoch darin, die Annäherung von $g$ an $h$ auf verschiedenen Skalen zu denken. Will man zum Beispiel für ein $\varepsilon >0$ und ein $k\in {\mathbb{N}}$ mit $\varepsilon \ll (2^{-k})^{\alpha}$ den Hochpunkt von $h$ in $2^{-k}$ bis auf $\varepsilon$ durch $g$ annähern, so müßte das Polygon $g$ in $[0,2^{-k}]$ eine Durchschnittssteigung (gemessen in $L(\cdot)$!) von fast $2^{k(1-\alpha)}$ aufweisen. Diese darf es (schließlich ist $g\in H_{\alpha}^{0}$) lokal auch haben, denn für $y-x=(2^{-k(1-\alpha)}\varepsilon ')^{1-\alpha}$ mit $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}=2^{k(1-\alpha)}$ gilt $L_{xy}(g)=\frac{\vert g(x)-g(y)\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}\leq\varepsilon '$, so daß hier ``nichts Schlimmes'' passieren würde, wenn dieses stark steigende Stück von $g$ mit einem ``stark fallenden'' von $h$ zusammenträfe. Man ist also gezwungen, die Schrittweite von $g$ in der Größenordnung von höchstens $(2^{-k(1-\alpha)}\varepsilon ')^{1-\alpha}$ zu wählen, das heißt man schaut jetzt ``viel tiefer'' in die Mandel über $[0,2^{-k}]$ hinein. Da man sich auf der Ebene dieser Größenordnung um die Annäherung von $g$ an $h$ in der Supremumsnorm nicht besonders kümmern muß, könnte man dort ``fallende'' nach links gekippte Mandeln ``übergehen'' (sprich, $g$ dürfte dort trotzdem steigen) und sich -- mit der erlaubten Steigung -- entlang der längeren ``steigenden'' nach rechts gekippten Mandeln ``langsam nach oben hangeln''. Dabei muß man auf einer viel größeren Skala mit einem $\delta'>0$ noch dafür Sorge tragen, daß $L_{xy}(h-g)\leq 1+\varepsilon '$ für $0<\vert x-y\vert^{\alpha}\leq\delta'$ gilt, und hier hat man es schon mit einer dritten Größenordnung zu tun. Kurzum: Der Versuch, die Frage zu beantworten, ob die Mandelfunktion jedem Polygon auf einer gewissen Skala ein Schnippchen schlagen kann oder ob umgekehrt die Polygone tatsächlich dieses Spielchen mitmachen können, ist gescheitert.

Jedenfalls darf man die Hoffnung haben, daß die Mandelfunktion ein genügend allgemeines Beispiel einer Hölderfunktion ist, welche weit genug davon entfernt ist, die $\ell ip$-Bedingung zu erfüllen, um mit ihrer Hilfe vielleicht irgenwann endgültig entscheiden zu können, ob $H_{\alpha }^{0}$ nun die 3-Kugel-Eigenschaft in $H_{\alpha }$ erfüllt oder nicht. Im Falle $\alpha=\frac{1}{2}$ kann man übrigens mit dem oben schon genannten Vorgehen schnell

$$\liminf_{\substack{y\to x\\ x\neq y}} L_{xy}(h)\leq \frac{2}{3}\quad\forall x\in M$$

nachrechnen, womit man mit den obigen Ergebnissen einsieht, daß für alle Stellen $x\in M$ der Grenzwert $\lim_{y\to x}L_{xy}(h)$ nicht existiert. So ist die Mandelfunktion sicher das konsequentere Analogon zu einer stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktion als das etwas halbherzige Beispiel 4.2.5. Dort häufen sich zwar auch die ``kritischen Punkte'', diese verletzen aber auf den feineren Skalen die $\ell ip$-Bedingung in einem immer geringeren Ausmaß. So wird denn auch die Funktion aus Beispiel 4.2.5 durch eine weitere noch vorzustellende Methode behandelbar, welche allerdings schon bei Funktionen vom Kaliber aus Beispiel 4.2.8, wo sich die ``kritischen Stellen'' nur in einem Punkt häufen, an ihre Grenzen stößt.

Es ist nun höchste Zeit, das, was bisher bloß suggestiv als ``kritische Stelle'' bezeichnet wurde, endlich formal abzusegnen. Intuitiv bietet sich als Definition einer solchen Stelle $x$ einer Hölderfunktion $h$ natürlich die Forderung

$$\limsup_{\substack{y\to x\\ x\neq y}} L_{xy}(h)>0$$

an. Man könnte vermuten, obwohl die $\ell ip$-Bedingung (siehe Definition 1.1.1) als eine gleichmäßige lokale daherkommt, mit der Kompaktheit des Einheitsintervalls für jede Funktion $h\in H_{\alpha}\backslash H_{\alpha}^{0}$ eine solche Stelle aus $[0,1]$ zu extrahieren in der Lage zu sein. Und wie das Leben manchmal so spielt, stößt man bei dem Versuch, dies zu beweisen, auf ein Gegenbeispiel. Der Satz von Bolzano-Weierstraß liefert nämlich lediglich gegen ein $x\in [0,1]$ konvergierende Folgen $(x_{n})$ und $(y_{n})$ in $[0,1]$ mit $L_{x_{n}y_{n}}(h)\geq\varepsilon$ für ein $\varepsilon >0$. Der -- für ein Gegenbeispiel übrigens notwendige -- Witz in der Konstruktion der folgenden Funktion liegt darin, daß sich die beiden Folgen ``viel schneller'' einander annähern als ihrem Grenzwert.

Abbildung 4.15: Konstruktion von $h\in B_{H_{1/2}}$ aus Beispiel 4.2.11

Beispiel 4.2.11   Es sei die Funktion $h\in B_{H_{1/2}}$ mit $\vert h(x)\vert\leq \vert x\vert\enspace\forall x\in [0,1]$ durch die Konstruktion einer monoton fallenden Folge $(x_{k})_{k=0}^{\infty}\subseteq{\mathbb{R}}^{+}$ auf folgende Weise über $f\in H_{1}$ mit $f:x\mapsto x$ definiert (vergleiche mit der Abbildung 4.2.11). Wähle $x_{0}:=\frac{1}{2}$ und $h$ linear (steigend) zwischen den Punkten $(x_{1},-x_{1})$ und $(x_{0},x_{0})$, wenn $x_{1}$ die Stelle des Schnittpunkts der Graphen von $x\mapsto x_{0}-\sqrt{x_{0}-x}$ und $-f$ ist. Zu gefundenem $x_{1}$ sei $h$ linear (fallend) zwischen $(x_{2},x_{2})$ und $(x_{1},-x_{1})$ gewählt, wenn $x_{2}$ die $x$-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen von $x\mapsto -x_{1}+\sqrt{x_{1}-x}$ und $f$ ist. Im weiteren erhält man für $k\geq 1$ die Stelle $x_{2k+1}$ (bzw. $x_{2k+2}$) aus $x_{2k}$ (bzw. $x_{2k+1}$) genauso wie $x_{1}$ aus $x_{0}$ (bzw. $x_{2}$ aus $x_{1}$). $h$ wird zwischen den erhaltenen Punkten der Form $(x_{2k},x_{2k})$ und $(x_{2k+1},-x_{2k+1})$ stets wieder linear gewählt.

Wir beweisen, daß $(x_{k})$ eine Nullfolge ist. Beachte hierzu, daß sich für gerades $k$ die Stelle $x_{k+1}$ aus $x_{k}$ durch die Bedingung

$$x_{k}-\sqrt{x_{k}-x_{k+1}}=-x_{k+1}$$ (1)

ergibt, welche, in eine quadratische Gleichung übergeführt, die positive (sprich, die für uns richtige) Lösung

$$x_{k+1}=-x_{k}-\frac{1}{2}+\sqrt{2x_{k}+\frac{1}{4}}$$ (2)

ausspuckt. Für ungerades $k$ muß man Gleichung (4.2.1) nur mit $-1$ multiplizieren und erhält dasselbe, so daß in (4.2.2) eine Rekursionsformel für die Folge $(x_{k})$ vorliegt. Als monoton fallende Folge in ${\mathbb{R}}^{+}$ hat $(x_{k})$ einen Grenzwert $a\geq 0$, für den wegen (4.2.2)

$$2a+\frac{1}{2}=\sqrt{2a+\frac{1}{4}}$$

gilt, woraus sofort $a=0$ folgt.

Damit ist, wenn man noch $h(0):=0$ setzt (und im übrigen $h(x):=\frac{1}{2}$ auf  $[\frac{1}{2},1]$), die Funktion $h$ auf dem ganzen Einheitsintervall definiert. Zudem ist $h$ ein Element von $B_{H_{1/2}}$, da es für jedes $k\in{\mathbb{N}}_{0}$ auf $[x_{k},1]$ ein interpolierendes Polygon zu den entsprechend gewählten ``Wurzelästen aus der Einheitskugel'' ist und $L_{0x}(h)\leq 1\enspace\forall x\in [0,1]$ wegen $\vert h(x)\vert\leq \vert x\vert\enspace\forall x\in [0,1]$ gilt. Aus letzterem folgt auch sofort $\lim_{x\to 0}L_{0x}(h)=0$. Da weiter $h$ auf $[x_{k},1]$ für alle $k\in{\mathbb{N}}_{0}$ ein Polygon ist und damit auf jedem dieser Intervalle sogar eine Lipschitzbedingung zum Exponenten $\alpha=1$ erfüllt (freilich mit Lipschitzkonstanten $L_{k}$, für welche $L_{k}\to\infty$ mit $k\to \infty$ gilt), hat man auch $\lim_{\vert x-y\vert\to 0}L_{xy}(h)=0$ auf jedem Intervall $[x_{k},1]$. Insgesamt erfüllt also $h$ in jedem Punkt $x\in [0,1]$ die punktweise $\ell ip$-Bedingung $\lim_{y\to x}L_{xy}(h)=0$, nicht aber die gleichmäßige $\ell ip$-Bedingung in der Umgebung der Null, denn es gilt nach Konstruktion $L_{x_{k+1}x_{k}}(h)=1\enspace\forall k\in{\mathbb{N}}_{0}$.

Es exisieren also Hölderfunktionen (die obige Konstruktion sichert dies jedenfalls für alle $\alpha$ mit $\frac{1}{2}\leq\alpha<1$), die die punktweise $\ell ip$-Bedingung auf ganz $[0,1]$ erfüllen und dennoch keine kleinen Hölderfunktionen gemäß Definition 1.1.1 sind. Im Spezialfall $\alpha=1$ ist diese Unterscheidung trivialerweise nicht nötig. Am Rande sei hier noch bemerkt, daß nur bei Krein und Petuin in [32] die punktweise $\ell ip$-Bedingung zu finden ist, alle anderen in dieser Arbeit genannten Autoren verwenden die stärkere Definition der gleichmäßigen $\ell ip$-Bedingung, die im übrigen für die meisten Ergebnisse insbesondere der Kapitel 2 und 3 auch essentiell ist.

Das vorangegangene Beispiel zeigt, daß die Forderung $\lim_{y\to x}L_{xy}(h)=0$ für eine adäquate Definition einer ``kritischen Stelle'' $x$ einer Lipschitzfunktion $h$ offenbar zu stark ist. Es reicht, wenn zu einem $\varepsilon >0$ gegen $x$ konvergierende Folgen $(x_{n})$ und $(y_{n})$ mit $L_{x_{n}y_{n}}(h)\geq\varepsilon \enspace\forall n\in{\mathbb{N}}$ existieren. Ist $x$ jedoch noch Häufungspunkt solcher ``kritischer Stellen'' (eventuell mit immer kleiner werdendem $\varepsilon >0$), so wollen wir $x$ immer noch nicht als völlig ``unkritisch'' ansehen (auch wenn diese Feinheit später in Satz 4.2.15 nicht benötigt wird). Wir entscheiden uns hier für eine ``positive'' Definition der ``Harmlosigkeit'' einer Lipschitzfunktion in einem Punkt $x$.

Definition 4.2.12   Eine Funktion $h$ auf einem metrischen Raum $K$ erfüllt in einem Punkt $x\in K$ die $\ell ip$-Bedingung, falls es eine Umgebung $U_{x}$ von $x$ gibt, in der $h$ die $\ell ip$-Bedingung gemäß Definition 1.1.1 erfüllt. In diesem Fall heißt $x$ nichtkritische Stelle von $h$ und im umgekehrten Fall kritische Stelle von $h$.

Diese Art, die $\ell ip$-Bedingung zu lokalisieren, erscheint recht natürlich. Man hat damit sofort in

$$\{x\in K:$$ $h$ erfüllt die $\ell ip$ -Bedingung in $x$$$\}=\bigcup_{\text{$x$ nichtkritisch}} U_{x}$$

eine offene Menge in $K$ und erhält das folgende

Lemma 4.2.13   Erfüllt eine Funktion $g$ auf einem Kompaktum $K$ in jedem Punkt die $\ell ip$-Bedingung, so liegt $g$ in $\ell ip(K)$.

Beweis. [Beweis] Zunächst erfüllt $g$ die gleichmäßige $\ell ip$-Bedingung in $K$. Sonst existieren wie gehabt ein $\varepsilon >0$ und konvergente Folgen $(x_{n})$ und $(y_{n})$ in $K$ mit gleichem Grenzwert $x$ und $L_{x_{n}y_{n}}(g)\geq\varepsilon \enspace \forall n\in{\mathbb{N}}$, womit $x$ eine kritische Stelle von $g$ ist. Widerspruch. Nehmen wir nun an, es gilt $g\notin \ell ip(K)$, dann existieren konvergente Folgen $(x_{n})$ und $(y_{n})$ mit $L_{x_{n}y_{n}}(g)\to\infty$. Da $g$ die $\ell ip$-Bedingung erfüllt, haben die beiden Folgen verschiedene Grenzwerte $\tilde{x}$ und $\tilde{y}$ in $K$. Andererseits folgt aus der Beschränktheit von $g$ -- diese Funktion ist stetig, da sie die $\ell ip$-Bedingung erfüllt -- die Beschränktheit von $L_{x_{n}y_{n}}(g)=\frac{\vert g(x_{n})-g(y_{n})\vert}{d(x_{n},y_{n})}$, da $d(x_{n},y_{n})$ von unten beschränkt bleibt -- ein Widerspruch. $\qedsymbol$

Jetzt haben wir genug Vorarbeit geleistet, um langsam auf das Hauptergebnis dieses Abschnitts zusteuern zu können. Hierbei widmen wir uns zunächst der Menge aller Funktionen in $H_{\alpha }$, welche nur endlich viele kritische Stellen besitzen, also gewissermaßen nur ``punktweise große Hölderfunktionen'' sind. Diese Menge ist offenbar ein Unterraum von $H_{\alpha }$.

Definition 4.2.14   Es sei mit $H_{\alpha}^{p}$ derjenige Unterraum aller Funktionen in $H_{\alpha }$ bezeichnet, welche höchstens endlich viele kritische Stellen besitzen.

Einem Teilraum von $H_{\alpha}^{p}$ sind wir im Raum $H_{\alpha}^{c}$ aus Bemerkung 4.2.7 schon begegnet. Dort sind die Bemühungen, nachzuweisen, daß $H_{\alpha }^{0}$ die 3-Kugel-Eigenschaft in $H_{\alpha}^{c}$ hat, gescheitert. Wir wollen uns nun einer neuen Idee zuwenden, eine große Hölderfunktion $h$ durch eine kleine ``im Sinne der 3-Kugel-Eigenschaft'' anzunähern. Wie in Bemerkung 4.1.9 angedeutet, soll ``$g=h$'' dort gewählt werden, wo $h$ ``angenehm'', sprich: ``im kleinen Hölderraum'' ist, und ``$g=0$'' an den kritischen Stellen von $h$, d.h. dort, wo $h$ ``im großen Raum'' liegt. Geht man von der Halbnorm $L_{\alpha}(\cdot)$ aus, welche konstante Funktionen gleich Null setzt, läßt sich ``$g=h$'' als $g=h-c$ für ein $c\in{\mathbb{R}}$ deuten, und ``$g=0$'' bedeutet $g=$const. Man könnte daher ein $h\in H_{\alpha}^{p}$ so durch ein $g\in H_{\alpha}^{0}$ anzunähern versuchen, daß man ``dem Verlauf'' von $h$ an den nichtkritischen Stellen durch das $g$ ``folgt'', und zwar bis auf eine additive Konstante, die sich in einer gewissen Umgebung einer kritischen Stelle, wo man $g$ einfach konstant hält, ändert. Nach dem ``Überspringen'' einer solchen Umgebung bewegt sich $g$ in einem neuen Abstand zu $h$ wieder in der gleichen Weise als ``kleine Hölderfunktion'' wie $h$. Veranschaulicht ist diese ``Methode der eingeschobenen Konstanten'' anhand der Beispiele 4.2.1 und 4.2.6 in den Abbildungen 4.16 und 4.17. Man benutzt die gleichmäßige Stetigkeit von $h$, um die Umgebungen um die kritischen Stellen klein genug zu wählen, so daß $h$ durch $g$ in der $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{\infty}$-Norm angenähert wird. Daß man $g\in H_{\alpha}^{0}$ erhählt, wird nicht sonderlich überraschen. Wichtig ist natürlich die Bedingung (4.1.1) aus Lemma 4.1.12, und hier hat man Glück: Diese ist sogar mit $L_{xy}(h-g)\leq 1$ für $\vert x-y\vert^{\alpha}\leq\delta'$ erfüllt -- es funktioniert also.

Abbildung 4.16: Beispiel 4.2.1 mit Methode der eingeschobenen Konstanten

Abbildung 4.17: Beispiel 4.2.1 mit Methode der eingeschobenen Konstanten

Satz 4.2.15   $H_{\alpha }^{0}$ ist ein $M$-Ideal in $H_{\alpha}^{p}$.

Beweis. [Beweis] Sei ein $h$ aus der Einheitskugel von $H_{\alpha}^{p}$ mit den endlich vielen kritischen Stellen $x_{1}<\dots<x_{n}$ für ein $n\in {\mathbb{N}}$ gegeben, wobei wir aus beweistechnischen Gründen o.B.d.A. $x_{1}=0$ und $x_{n}=1$ hinzunehmen. Weiter seien $\varepsilon '>0$ und $\delta'>0$ zur Anwendung von Lemma 4.1.12 gegeben. Dabei sei $\varepsilon :=\varepsilon '\delta'$ gesetzt und zuvor $\delta'$ o.B.d.A. so klein gewählt, daß $(\delta')^{\frac{1}{\alpha}}\leq \frac{1}{2}\min_{1\leq k\leq n-1}\vert x_{k}-x_{k+1}\vert$ gilt. (Man beachte, daß man in Lemma 4.1.12 das $\delta'$ ``ungestraft'' verkleinern darf.) Wir wählen nun mit der gleichmäßigen Stetigkeit von $h$ ein $\delta>0$ so, daß $\vert h(x)-h(y)\vert\leq\frac{\varepsilon }{n}$ aus $\vert x-y\vert\leq 2\delta$ folgt (also $\delta\leq\frac{1}{2}(\frac{\varepsilon }{n})^{\frac{1}{\alpha}}$), wobei zusätzlich noch $\delta\leq\frac{1}{2}(\delta')^{\frac{1}{\alpha}}$ gelten soll. Dieses $\delta$ liefert in den $\delta$-Umgebungen um die kritischen Punkte von $h\in B_{H_{\alpha}^{p}}$ die Grundlage für die Konstruktion des $g\in H_{\alpha}^{0}$, welches $h$ in der gewünschten Weise approximiert.

Zunächst definieren wir mit dem gefundenen $\delta$ für jedes $k\in \{1,\dots,n\}$ die Größe

$$\varDelta h(x_{k}):=h(x_{k}-\delta)-h(x_{k}+\delta),$$

setzen noch $h(-\delta):=0$ und definieren damit, soweit $x\in [0,1]$ ist, die Funktion $g$ durch

$$g(x):=\left \{\begin{array}{ll} h(x_{k}-\delta)+\sum_{i=1}^{k-1}\... ...) & \mbox{f\uml ur } x_{k}+\delta\leq x\leq x_{k+1}-\delta. \end{array}\right.$$

Offenbar ist $g$ nach Konstruktion stetig (man beachte $h(x_{k}-\delta)+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i})=h(x_{k}+\delta)+\sum_{i=1}^{k}\varDelta h(x_{i})$), und es ist $g(0)=0$. Wir zeigen $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$: Zunächst gilt $\vert\varDelta h(x_{k})\vert\leq\frac{\varepsilon }{n}\enspace\forall k\in\{1,\dots,n\}$ nach Wahl von $\delta$. Hieraus folgt (aus dem gleichen Grund) für $x_{k}-\delta\leq x\leq x_{k}+\delta$ und alle $k\in \{1,\dots,n\}$ die Ungleichung

$$\vert h(x)-g(x)\vert\leq \vert h(x)-h(x_{k}-\delta)\vert+ \sum_{i... ...})\vert\leq\frac{\varepsilon }{n}+(k-1)\frac{\varepsilon }{n}\leq\varepsilon .$$

Für $x_{k}+\delta\leq x\leq x_{k+1}-\delta$ $(k=1,\dots,n-1)$ schließt man

$$\vert h(x)-g(x)\vert\leq\sum_{i=1}^{k}\vert\varDelta h(x_{i})\vert\leq(n-1)\frac{\varepsilon }{n}\leq\varepsilon .$$

Jetzt zeigen wir $g\in H_{\alpha}^{0}$, indem wir Lemma 4.2.13 anwenden und uns auf den Nachweis beschränken, daß $g$ in jedem Punkt die $\ell ip$-Bedingung erfüllt. Für alle Punkte, die nicht die Gestalt $x_{k}-\delta$ oder $x_{k}+\delta$ für ein $k\in \{1,\dots,n\}$ haben, ist dies klar, denn solche Punkte haben Umgebungen, in denen $g$ entweder konstant ist oder sich nur durch eine additive Konstante von $h$ unterscheidet, wobei $h$ in diesen Umgebungen selbst die $\ell ip$-Bedingung erfüllt. Es bleibt also, die Größe $L_{xy}(g)$ für $x,y$ aus einer Umgebung eines Punktes $x_{k}-\delta$ oder $x_{k}+\delta$ zu betrachten. Im Falle $x_{k-1}+\delta< x<x_{k}-\delta<y<x_{k}+\delta$ schätzt man

$$L_{xy}(g) =\frac{\left\vert\left(h(x)+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i})\ri... ...+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i})\right)\right\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$\leq\frac{\vert h(x)-h(x_{k}-\delta)\vert}{\vert x-(x_{k}-\delta)\vert^{\alpha}}=L_{x,x_{k}-\delta}(h)$$

ab und völlig analog für $x_{k}-\delta< x<x_{k}+\delta <y<x_{k+1}-\delta$ nach Definition von $\varDelta h(x_{k})$

$$L_{xy}(g) =\frac{\left\vert\left(h(x_{k}-\delta)+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta ... ...y)+\sum_{i=1}^{k}\varDelta h(x_{i})\right)\right\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$\leq\frac{\vert h(x_{k}+\delta)-h(y)\vert}{\vert(x_{k}+\delta)-y\vert^{\alpha}}=L_{x_{k}+\delta,y}(h).$$

In den übrigen Fällen, in denen $x,y$ beide (lokal) unterhalb oder oberhalb von $x_{k}-\delta$ bzw. $x_{k}+\delta$ liegen, gilt ohnehin $L_{xy}(g)=L_{xy}(h)$. Aus der Tatsache, daß $h$ in den Punkten $x_{k}-\delta$ für $k=2,\dots,n$ und in $x_{k}+\delta$ für $k=1,\dots,n-1$ die $\ell ip$-Bedingung erfüllt, folgt nun gleiches mit den erhaltenen Abschätzungen auch für $g$, so daß insgesamt $g\in H_{\alpha}^{0}$ aus Lemma 4.2.13 geschlossen werden kann.

Nun bleibt noch $L_{xy}(h-g)\leq 1$ für $\vert x-y\vert^{\alpha}\leq\delta'$ zu zeigen. Wegen $\delta\leq\frac{1}{2}(\delta')^{\frac{1}{\alpha}}\leq \frac{1}{4}\min_{1\leq k\leq n-1}\vert x_{k}-x_{k+1}\vert$ tritt für $\vert x-y\vert^{\alpha}\leq\delta'$ mit o.B.d.A. $x<y$ einer der folgenden fünf Fälle ein:

1. Fall: $x_{k-1}+\delta\leq x<y\leq x_{k}-\delta$

$$\Longrightarrow L_{xy}(h-g)=L_{xy}\left(\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i})\right)=0.$$

2. Fall: $x_{k-1}+\delta< x\leq x_{k}-\delta<y\leq x_{k}+\delta\enspace\Longrightarrow L_{xy}(h-g)=$

$$\frac{\left\vert h(x)-\left(h(x)+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i... ...i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i})\right)\right)\right\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$=\frac{\vert-h(y)+h(x_{k}-\delta)\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}\... ...)-h(y))\vert}{\vert(x_{k}-\delta)-y\vert^{\alpha}}=L_{x_{k}-\delta,y}(h)\leq 1.$$

3. Fall: $x_{k}-\delta\leq x<y\leq x_{k}+\delta$

$$\Longrightarrow L_{xy}(h-g)=L_{xy}(h)\leq 1, \mbox{ da $g=\mbox{const.}$\ auf $[x_{k}-\delta,x_{k}+\delta]$.}$$

4. Fall: $x_{k}-\delta\leq x< x_{k}+\delta\leq y\enspace\Longrightarrow L_{xy}(h-g)=$

$$\frac{\left\vert h(x)-\left(h(x_{k}-\delta)+\sum_{i=1}^{k-1}\varD... ..._{i=1}^{k}\varDelta h(x_{i})\right)\right)\right\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$=\frac{\vert h(x)-h(x_{k}-\delta)+(h(x_{k}-\delta)-h(x_{k}+\delta... ...leq\frac{\vert h(x)-h(x_{k}+\delta)\vert}{\vert x-(x_{k}+\delta)\vert^{\alpha}}$$

$$=L_{x,x_{k}+\delta}(h)\leq 1.$$

5. Fall: $x_{k-1}+\delta< x\leq x_{k}-\delta<x_{k}+\delta\leq y\leq x_{k+1}-\delta\enspace\Longrightarrow L_{xy}(h-g)=$

$$\frac{\left\vert h(x)-\left(h(x)+\sum_{i=1}^{k-1}\varDelta h(x_{i... ..._{i=1}^{k}\varDelta h(x_{i})\right)\right)\right\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$=\frac{\vert\varDelta h(x_{k})\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}\leq... ...elta)-(x_{k}+\delta)\vert^{\alpha}}\leq L_{x_{k}-\delta,x_{k}+\delta}(h)\leq 1.$$

Es folgt mit Lemma 4.1.12 die Behauptung. $\qedsymbol$

Es erweist sich $H_{\alpha}^{p}$ als nicht abgeschlossen in $H_{\alpha }$, und der Leser sei an dieser Stelle einmal mehr um Nachsicht für die Verwendung des Begriffs des $M$-Ideals gebeten, welches per definitionem ``eigentlich'' nur in Banachräumen ``leben'' kann (siehe Defintion 4.1.1 und Theorem 4.1.8, aber auch Bemerkung 4.1.9 unten). Mit dem oben erhaltenen Ergebnis ist $H_{\alpha }^{0}$ jedenfalls (auch) ein $M$-Ideal im Abschluß von $H_{\alpha}^{p}$ in $H_{\alpha }$. Auf der Suche nach diesem kann man sich von der großen Hölderfunktion $h$ aus Beispiel 4.2.5, die Grenzwert von Funktionen aus $H_{\alpha}^{p}$ ist, inspirieren lassen und nach Spendieren eines Epsilons dem folgenden Unterraum $H_{\alpha}^{\omega}$ von $H_{\alpha }$ zuwenden.

Definition 4.2.16   Der schwache Hölderraum $H_{\alpha}^{\omega}$ bestehe aus allen Funktionen $h\in H_{\alpha}$ mit der folgenden Eigenschaft:

Zu jedem $\varepsilon >0$ existieren endlich viele Stellen $x_{1},\dots,x_{n}$ in $[0,1]$, so daß für jedes $\tilde{x}\in [0,1]\backslash\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ eine Umgebung $U(\tilde{x})$ existiert mit

$$\sup_{\substack{x,y\in U(\tilde{x}) \\ x\neq y}} \frac{\vert h(x)-h(y)\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}\leq\varepsilon .$$

Offenbar ist $H_{\alpha}^{p}\subseteq H_{\alpha}^{\omega}$, und es gilt sogar

Satz 4.2.17  

$$\overline{H_{\alpha}^{p}}^{L_{\alpha}(\cdot)}=H_{\alpha}^{\omega}.$$

Beweis. [Beweis] Wir zeigen zunächst, daß $H_{\alpha}^{\omega}$ abgeschlossen in $H_{\alpha }$ ist. Sei also eine Folge $(h_{i})_{i=1}^{\infty}\subseteq H_{\alpha}^{\omega}$ mit $h_{i}\xrightarrow{\text{$L_{\alpha}(\cdot)$}} h\in H_{\alpha}$ gegeben und zu vorliegendem $\varepsilon >0$ ein $m\in {\mathbb{N}}$ gefunden mit $L_{\alpha}(h_{m}-h)\leq\frac{\varepsilon }{2}$. Nun existieren zu $h_{m}$ endlich viele Punkte $x_{1},\dots,x_{n}$, so daß $\sup_{x,y\in U(\tilde{x})}L_{xy}(h_{m})\leq\frac{\varepsilon }{2}$ für alle $\tilde{x}\in [0,1]\backslash\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ und gewisse Umgebungen $U(\tilde{x})$ gilt. Damit liefert die Ungleichung

$$L_{xy}(h)\leq L_{xy}(h_{m})+L_{xy}(h_{m}-h)\leq\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$$

für verschiedene $x,y\in U(\tilde{x})$ die Tatsache $\sup_{x,y\in U(\tilde{x})}L_{xy}(h)\leq\varepsilon$, also wie gewünscht $h\in H_{\alpha}^{\omega}$.

Seien nun zu $h\in B_{H_{\alpha}^{\omega}}$ und einem $\varepsilon >0$ endlich viele Stellen $x_{1}<\dots<x_{n}$ in $[0,1]$ (o.B.d.A. mit $x_{1}=0$ und $x_{n}=1$) gegeben, so daß für alle weiteren Stellen $\tilde{x}\in [0,1]\backslash\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ in gewissen Umgebungen $U(\tilde{x})$, die o.B.d.A als offene Intervalle angenommen werden, stets $\sup_{x,y\in U(\tilde{x})}L_{xy}(h)\leq\frac{\varepsilon }{4}$ gilt. Wir definieren nun auf für wachsendes $N\in {\mathbb{N}}$ immer größer werdenden Teilmengen $\bigcup_{m=0}^{N}M_{m}$ von $[0,1]$ (um die kritischen Stellen $x_{1},\dots,x_{n}$ herum) sukzessive durch polygonale Teilstücke eine Funktion $f$, welche in $H_{\alpha}^{p}$ zu liegen kommt und $h$ in der Höldernorm $L_{\alpha}(\cdot)$ approximiert. Sei hierzu eine streng monoton fallende Nullfolge $(\delta_{m})_{m=0}^{\infty}$ mit $\delta_{0}<\frac{1}{2}\min_{k=1,\dots,n-1}\vert x_{k}-x_{k+1}\vert$ vorgegeben.

Betrachte im ersten Schritt eine mit gewissen $x_{j}$, $j=1,\dots N_{0}$, aus der Vereinigung aller obigen $U(\tilde{x})$ gegebene endliche Überdeckung $\bigcup_{j=1}^{N_{0}}U(\tilde{x}_{j})$ der kompakten Menge $M_{0}:=[0,1]\backslash \bigcup_{k=1}^{n}(x_{k}-\delta_{0},x_{k}+\delta_{0})$. Es bezeichne hierbei $\tilde{\ell}^{(0)}$ die Hälfte der minimalen Länge aller nichtleeren Schnittintervalle $U(\tilde{x}_{i})\cap U(\tilde{x}_{j})$ für  $1\leq i,j\leq N_{0}$. Wähle nun $n_{k}^{(0)}\in {\mathbb{N}}$ so groß, daß

$$\frac{\vert(x_{k+1}-\delta_{0})-(x_{k}+\delta_{0})\vert}{n_{k}^{(0)}}=:\ell_{k}^{(0)}\leq\tilde{\ell}^{(0)}\quad\forall k=1,\dots,n-1$$

gilt und definiere damit $f$ polygonal auf $M_{0}$ durch

$$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} h(x_{k}+\delta_{0}+j\ell_{k}... ...0\leq j\leq n_{k}^{(0)}-1,\; k=1,\dots,n-1. \end{array}\right.$$

Für alle $m\in {\mathbb{N}}$ wird $f$ (induktiv) jeweils auf der kompakten Menge

$$M_{m}:=\left(\bigcup_{k=1}^{n}[x_{k}-\delta_{m-1},x_{k}+\delta_{m-1}]\backslash (x_{k}-\delta_{m},x_{k}+\delta_{m})\right)\,\bigcap\enspace [0,1]$$

folgendermaßen konstruiert. Gegeben sei wieder eine aus obigen $U(\tilde{x})$ erhaltene endliche Überdeckung $\bigcup_{j=N_{m-1}+1}^{N_{m}}U(\tilde{x}_{j})$ von $M_{m}$. Sei (wiederum) $\tilde{\ell}^{(m)}$ die Hälfte der minimalen Länge aller nichtleeren Schnittintervalle $U(\tilde{x}_{i})\cap U(\tilde{x}_{j})$, $N_{m-1}+1\leq i,j\leq N_{m}$. Mit einem $n^{(m)}\in {\mathbb{N}}$, für welches $\frac{\delta_{m-1}-\delta_{m}}{n^{(m)}}=:\ell^{(m)}\leq\tilde{\ell}^{(m)}$ gilt, definiere $f$ polygonal auf $M_{m}$ (d.h. solange $x\in [0,1]$ ist) durch

$$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} h(x_{k}\pm\delta_{m-1}\mp j\... ...r }\, 0\leq j\leq n^{(m)}-1,\; k=1,\dots,n. \end{array}\right.$$

Damit ist $f$ auf $M:=\bigcup_{m=0}^{\infty}M_{m}=[0,1]\backslash\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ definiert und erfüllt für alle $\tilde{x}\in M$ die $\ell ip$-Bedingung, denn in einer genügend kleinen Umgebung eines jeden $\tilde{x}\in M$ ist $f$ ein Polygon. Definiert man naheliegenderweise noch $f(x_{k}):=h(x_{k})\enspace\forall k=1,\dots,n$, so folgt aus der Definition von $f$ auf $M$ und der Stetigkeit von $h$ die Stetigkeit von $f$.

Es sei jetzt zu jedem $x\in M$ mit $\overline{x}$ (bzw. $\underline{x}$) dasjenige kleinste (bzw. größte) Element in $M$ der Form $x_{k}+\delta_{0}+j\ell_{k}^{(0)}$ oder $x_{k}\pm\delta_{m-1}\mp j\ell^{(m)}$ bezeichnet, welches größer (bzw. kleiner) oder gleich $x$ ist. Für $x\neq \overline{x}$ kann man zunächst wie bei Krein und Petuin im Beweis zu Satz 1.2.20 die Tatsache $L_{x\overline{x}}(f)\leq L_{\underline{x}\overline{x}}(h)$ schließen, und letzteres ist nach Wahl von $\ell^{(0)}_{k}$ und $\ell^{(m)}$ höchstens $\frac{\varepsilon }{4}$. Analoges gilt für $x\neq\underline{x}$, so daß man für $x,y\in M, x<y$ und $x<\overline{x}<\underline{y}<y$

$$L_{xy}(h-f) \leq L_{x\overline{x}}(h-f)+L_{\overline{x}\underline{y}}(h-f)+L_{\underline{y}y}(h-f)$$

$$\leq L_{x\overline{x}}(h)+L_{x\overline{x}}(f)+0+L_{\underline{y}y}(h)+L_{\underline{y}y}(f)\leq 4\cdot\frac{\varepsilon }{4}=\varepsilon$$

abschätzen kann ( $L_{\overline{x}\underline{y}}(h-f)=0$ gilt wegen $f(\overline{x})=h(\overline{x})$ und $f(\underline{y})=h(\underline{y})$). Gilt $x=\overline{x}$ oder $y=\underline{y}$, können die entsprechenden Terme $L_{x\overline{x}}(h-f)$ oder $L_{\underline{y}y}(h-f)$ in der Abschätzung weggelassen werden, und für $\overline{x}=\underline{y}$ fällt $L_{\overline{x}\underline{y}}(h-f)$ weg. Im Fall $\overline{x}>\underline{y}$, d.h. für $\underline{x}=\underline{y}<x<y<\overline{x}=\overline{y}$, beachtet man wieder $L_{xy}(f)\leq L_{\underline{x}\overline{y}}(h)\leq\frac{\varepsilon }{4}$ (Krein und Petuin!) und hat damit

$$L_{xy}(h-f)\leq L_{xy}(h)+L_{xy}(f)\leq\frac{\varepsilon }{4}+\frac{\varepsilon }{4}\leq\varepsilon .$$

Für $x=x_{k}<y\in M$, $k=1,\dots,n-1$, schätzt man

$$L_{x_{k}y}(h-f)\leq L_{x_{k}\underline{y}}(h-f)+L_{\underline{y}y}(h-f)\leq 0+\frac{\varepsilon }{4}$$

wegen $f(x_{k})=h(x_{k})$ und $f(\underline{y})=h(\underline{y})$ ab, genauso verfährt man für $x\in M$ und $y=x_{k}$, $k=2,\dots,n$, $x<y$:

$$L_{xx_{k}}(h-f)\leq L_{x\overline{x}}(h-f)+L_{\overline{x}x_{k}}(h-f)\leq \frac{\varepsilon }{4}+0.$$

Schließlich gilt wegen $f(x_{k})=h(x_{k})\enspace\forall k=1,\dots,n$ auch $L_{x_{j}x_{k}}(h-f)=0$ $\forall j=1,\dots,n; k=1,\dots,n;j\neq k.$

Insgesamt hat man also $L_{\alpha}(h-f)\leq\varepsilon$ und $L_{\alpha}(f)\leq L_{\alpha}(h-f)+L_{\alpha}(h)\leq 1+\varepsilon$, d.h. $f\in H_{\alpha}^{p}$, da wir schon wissen, daß $f$ die $\ell ip$-Bedingung für alle $\tilde{x}\in M$ erfüllt. Mithin liegt $H_{\alpha}^{p}$ dicht in $H_{\alpha}^{\omega}$. $\qedsymbol$

Korollar 4.2.18   $H_{\alpha }^{0}$ ist ein $M$-Ideal in $H_{\alpha}^{\omega}$.

Jetzt sticht es einem schon fast ins Auge, wie man durch eine Kombination der Beweise zu den beiden vorigen Sätzen auch gleich die Aussage des Korollars durch den direkten Nachweis der 3-Kugel-Eigenschaft von $H_{\alpha }^{0}$ in $H_{\alpha}^{\omega}$ zeigen kann. Die endlich vielen durch ein $\varepsilon '$ gegebenen ``schlimmen Stellen'' eines vorgelegten $h\in B_{H_{\alpha}^{\omega}}$ werden wie gehabt ``konstant überbrückt'', und an den ``guten Stellen'' nutzt man die ``Fast-$\ell ip$-Eigenschaft'' von $h$ durch (bis auf additive Konstanten) polygonale Annäherung. Insgesamt nähert man damit $h$ durch ein Polygon $g\in H_{1}\subseteq H_{\alpha}^{0}$ an, womit für diesen Beweis das Lemma 4.2.13 gar nicht benötigt würde. Mit dem aus der gleichmäßigen Stetigkeit von $h$ durch ein vorgegebenes $\varepsilon >0$ gewonnenen $\delta>0$ wird dann wie mit $\delta_{0}$ im Beweis zu Satz 4.2.17 verfahren (nun mit $\varepsilon '$ statt $\varepsilon$), und $g$ wird für $x_{k}+\delta\leq x\leq x_{k+1}-\delta$ als Polygon zwischen den Stellen $x_{k}+\delta_{0}+j\ell_{k}^{(0)}$, $0\leq j\leq n_{k}^{(0)}$, mit den Werten $h(x_{k}+\delta_{0}+j\ell_{k}^{(0)})+\sum_{i=1}^{k}\varDelta h(x_{i})$ definiert. Dann erhält man $L_{\alpha}(h-g)\leq 1+\varepsilon '$ und mit o.B.d.A. $\tilde{\ell}^{(0)}\leq\delta$ zudem $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq 2\varepsilon$.

Bemerkung 4.2.19   Man sollte an dieser Stelle noch ein paar Worte zu den Grenzen der im Beweis zu Satz 4.2.15 beschriebenen ``Methode der eingeschobenen Konstanten'' verlieren. Zunächst ist es sonnenklar, daß die Eindimensionalität des zugrundeliegenden metrischen Raums entscheidend für die Anwendung dieser Methode ist. Schon im Einheitsquadrat $[0,1]^{2}$ wäre sie gar nicht denkbar, da das Herausnehmen eines Punktes aus $[0,1]^{2}$ diese Menge nicht in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt.

Im Hinblick auf eine Verallgemeinerung der Aussage von Satz 4.2.15 auf größere Unterräume von $H_{\alpha }$ wird man geneigt sein, anstelle von $H_{\alpha}^{p}$ alle Funktionen $h\in H_{\alpha}$ zu betrachten, die in nur abzählbar vielen Punkten $\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq [0,1]$, die sich darüberhinaus höchstens endlich oft häufen sollen, kritisch sind. Dann kann man $h$ zunächst an den endlich vielen Häufungspunkten der $x_{k}$'s und danach an den verbleibenden endlich vielen kritischen Stellen ``konstant abschneiden'' und so wie im Beweis von Satz 4.2.15 leicht das gewünschte ``an $h$ orientierte'' $g\in H_{\alpha}$ mit $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ konstruieren. Das Problem ist jedoch der Nachweis von (4.1.2), denn in obigem Beweis brauchte man sich dafür nur um einen kritischen Punkt bewegen. Für die verallgemeinerte Version von Satz 4.2.15 wird es indes erforderlich sein, zwischen $x$ und $y$ mehrere ``eingeschobene Konstanten'' zu überspringen, denn o.B.d.A. $(\delta')^{\frac{1}{\alpha}}\leq \frac{1}{2}\min_{1\leq k\leq n-1}\vert x_{k}-x_{k+1}\vert$ ist ja hier nicht drin, und $\delta$ im obigen Beweis ist abhängig von $\delta'$, so daß im allgemeinen $\delta\ll \delta'$ zu erwarten ist. Versucht man nun einmal spaßeshalber, den 5. Fall so durchzurechnen, daß man zwischen $x$ und $y$ die beiden ``Plateaus'' von $g$ über $x_{k-1}$ und $x_{k}$ zu liegen hat, zwischen denen man nun keinen Sicherheitsabstand mehr, sonden im ungünstigsten Fall höchstens $\vert x_{k}-x_{k-1}\vert\approx 2\delta$, annehmen darf, so kann man nur noch

$$L_{xy}(h-g) =\frac{\vert h(x_{k-1}-\delta)-h(x_{k-1}+\delta)+h(x_{k}-\delta)-h(x_{k}+\delta)\vert}{\vert x-y\vert^{\alpha}}$$

$$\leq\frac{\vert\varDelta h(x_{k-1})\vert+\vert\varDelta h(x_{k})\... ...pha}+(2\delta)^{\alpha}}{(4\delta)^{\alpha}}=2\left(\frac{1}{2}\right)^{\alpha}$$

abschätzen, und das ist zu wenig bzw. zu viel (wiewohl natürlich kein Gegenbeispiel, da andererseits $L_{xy}(h-g)\approx L_{xy}(h)\leq 1$ im Falle $x_{k-1}+\delta\approx x_{k}-\delta$ zu erwarten und damit die obige Abschätzung zu grob ist).

Das Schließen auf ``Höldersteigungen'' $L_{xy}(h-g)$ durch ein ``Vorhangeln'' über Punkte zwischen $x$ und $y$ führt im übrigen auf ein grundsätzliches ``Problem'' in Hölderräumen zurück, welches man in $H_{1}$, wo man eine anschauliche Vorstellung von ``Steigungen'' hat, nicht antrifft. Für $f\in H_{1}$ und Stellen $x<y<z$ mit $y=\lambda x+(1-\lambda)z$ und $\lambda\in (0,1)$ gilt nämlich

$$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lambda\,\frac{f(z)-f(y)}{z-y}+(1-\lambda)\,\frac{f(y)-f(x)}{y-x},$$

also insbesondere $L_{xz}(f)\leq\max(L_{xy}(f),L_{yz}(f))$, d.h. man kann von lokalen auf globale Steigungen schließen. Dies geht in $H_{\alpha }$ für $0<\alpha <1$ nicht (in der obigen Gleichung stünde $\lambda^{\alpha}$ bzw. $(1-\lambda)^{\alpha}$ anstelle von $\lambda$ bzw. $(1-\lambda)$), und das ist auch ``gut'' so, sonst wäre ja der $H_{\alpha }^{0}$ wie der $H_{1}^{0}$ stets trivial! In diesem Zusammenhang kann man auch einmal bemerken, daß der $H_{\alpha}^{p}$ für $\alpha=1$ nicht besonders interessant aussieht.

Der Versuch, mit der ``Methode der eingeschobenen Konstanten'' die Elemente $h\in H_{\alpha}$ zu behandeln, die außerhalb einer nirgends dichten Nullmenge die $\ell ip$-Bedingung erfüllen, führt auf das Problem, daß noch nicht einmal mehr $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon$ gesichert werden kann. Man müßte ja in diesem Fall für die Konstruktion von $g$ auf die absolute Stetigkeit von $h$ zurückgreifen, und diese ist für Hölderfunktionen im allgemeinen einfach nicht erfüllt. Das folgende $h\in H_{\alpha}$ für $0<\alpha <1$ ist sogar von unbeschränkter Variation. Setze zunächst

$$\delta:=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{1}{\alpha}}}\right)^{-1}>0 \enspace$$und$$\enspace\delta_{k}:=\frac{\delta}{k^{\frac{1}{\alpha}}}\enspace$$sowie$$\enspace x_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}$$

für $n\in {\mathbb{N}}$ und $x_{0}:=0$. Damit definiere $h\in B_{H_{\alpha}}$ durch

$$h(x):=h(x_{n})+(-1)^{n}(x-x_{n})^{\alpha}$$   für$$\enspace x_{n}\leq x\leq x_{n+1}, n\in{\mathbb{N}}_{0}$$

und $h(1):=\lim_{n\to\infty}h(x_{n})$. Dann ist $\frac{\vert h(x_{n+1})-h(x_{n})\vert}{\vert x_{n+1}-x_{n}\vert^{\alpha}}=1\enspace\forall n\in {\mathbb{N}}_{0}$ und

$$\sum_{n=0}^{\infty}\vert h(x_{n+1})-h(x_{n})\vert=\sum_{n=0}^{\in... ...ty}(\delta_{n})^{\alpha}=\delta^{\alpha}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty.$$

Noch zwei etwas positivere Bemerkungen seien gestattet. Zum ersten sieht man schnell, daß die Beweise der Sätze 4.2.15 und 4.2.17, für die entsprechenden Räume $H_{\alpha}^{p}$ und $H_{\alpha}^{\omega}$ komplexwertiger Hölderfunktionen gleichermaßen gelten. Und zum zweiten sieht man bei näherer Betrachtung auch, daß die Voraussetzung $h(0)=0$ für die Konstruktion von $g$ im Beweis von Satz 4.2.15 und von $f$ im Beweis von Satz 4.2.17 gar nicht nötig ist. Daher lassen sich die Ergebnisse auf $Lip([0,1]^{\alpha})$ mit der Norm $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{L_{\alpha}}=\max(\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{\infty},L_{\alpha}(\cdot))$ übertragen: Der Beweis dafür, daß $\ell ip([0,1]^{\alpha})$ ein $M$-Ideal in `` $Lip^{p}([0,1]^{\alpha})$'' (und damit auch im Abschluß `` $Lip^{\omega}([0,1]^{\alpha})$'') ist, verläuft mit Lemma 4.1.12 (wobei $\varepsilon =\varepsilon '\delta'<\varepsilon '$, d.h. $\Vert h-g\Vert _{\infty}\leq\varepsilon '$ ist) wie der Beweis zu Satz 4.2.15. Für den Nachweis von

$$\overline{Lip^{p}([0,1]^{\alpha})}^{\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{L_{\alpha}}}=Lip^{\omega}([0,1]^{\alpha})$$

braucht man im Beweis von Satz 4.2.17 nur bemerken, daß $L_{0x}(h-f)\leq\varepsilon$ $\forall x\in (0,1]$ sofort $\vert h(x)-f(x)\vert\leq\varepsilon \enspace\forall x\in (0,1]$ nach sich zieht.

Es wurde im Vorlauf zu Theorem 4.1.5 oder auch im Anschluß an Satz 4.1.10 schon deutlich gemacht, daß $M$-Summanden gewissermaßen triviale Spezialfälle von $M$-Idealen sind. Was wir hier zum Abschluß dieser Arbeit noch zu bieten haben, ist die Erkenntnis, daß es sich bei $H_{\alpha }^{0}$ als $M$-Ideal in $H_{\alpha}^{\omega}$ tatsächlich -- und glücklicherweise (!) -- um einen nichttrivialen Kandidaten handelt. Dies gilt sowohl für die entsprechenden Räume reellwertiger als auch für die Räume komplexwertiger Funktionen, obwohl der Kern des Beweises eine Anwendung des Zwischenwertsatzes darstellt. Im Beweis wird auch sehr schön die Bedeutung des $\varepsilon >0$ in der 3-Kugel-Eigenschaft (siehe Theorem 4.1.8) deutlich.

Satz 4.2.20   $H_{\alpha }^{0}$ ist ein echtes $M$-Ideal in $H_{\alpha}^{\omega}$.

Beweis. [Beweis] Es ist zu zeigen, daß $H_{\alpha }^{0}$ kein $M$-Summand in $H_{\alpha}^{\omega}$ ist. Dazu wird die Charakterisierung von $M$-Summanden über die Schnitteigenschaft gewisser abgeschlossener Kugeln, zu finden in [18, II.3.4], benutzt. Vorgelegt sei ein abgeschlossener Unterraum $U$ eines Banachraums $X$. Dann gilt die Äquivalenz:

   $$\mbox{$U$ ist ein $M$-Summand in $X$.}$$$$\Longleftrightarrow$$

   Für alle Familien $\{B(x_{i},r_{i})\}_{i\in I}$ abgeschlossener Kugeln mit$$$$

$$B(x_{i},r_{i})\cap U\neq\varnothing\quad\forall i\in I$$ (3)

und

$$\bigcap_{i\in I} B(x_{i},r_{i})\neq\varnothing$$ (4)

folgt:

$$\bigcap_{i\in I} B(x_{i},r_{i})\cap U\neq\varnothing.$$ (5)

Um zu zeigen, daß $U$ kein $M$-Summand in $X$ ist, reicht es damit, ein Beispiel für die ``2-Kugel-Eigenschaft'' zu finden, in der das zur Verfügung stehende $\varepsilon >0$ unbedingt notwendig ist:

Wähle in unserem Fall hierfür in $B_{H_{\alpha}^{\omega}}$ die Funktion $h:x\mapsto x^{\alpha}$ und in $B_{H_{\alpha}^{0}}$ die Funktionen $f_{1}:x\mapsto x$ und $f_{2}=-f_{1}:x\mapsto -x$. Dann gilt

$$f_{i}\in B(h+f_{i},1)\cap H_{\alpha}^{0},\quad i\in\{1,2\},$$

also (4.2.3), und

$$h\in\bigcap_{i\in\{1,2\}} B(h+f_{i},1),$$

also (4.2.4), aber

$$\bigcap_{i\in\{1,2\}} B(h+f_{i},1)\cap H_{\alpha}^{0}=\varnothing,$$

denn sonst gäbe es ein $g\in H_{\alpha}^{0}$ mit

$$L_{\alpha}(h+f_{i}-g)\leq 1 i\in\{1,2\},$$ (6)

und ein solches existiert nicht (obwohl wir natürlich wissen, daß für jedes $\varepsilon >0$ ein $g\in H_{\alpha}^{0}$ existiert, so daß die Ungleichung $L_{\alpha}(h+f_{i}-g)\leq 1+\varepsilon$ für $i\in\{1,2\}$ erfüllt ist):

Zunächst wird gezeigt, daß es kein reellwertiges $g$ mit dieser Eigenschaft gibt. Für ein solches gälte nämlich aufgrund von $(h+f_{1})(1)=2$ und (4.2.6) zum einen $L_{01}(h+f_{1}-g)=\vert 2-g(1)\vert\leq 1$, also $g(1)\geq 1$, und wegen $(h+f_{2})(1)=0$ und (4.2.6) zum zweiten $L_{01}(h+f_{2}-g)=\vert g(1)\vert\leq 1$, also $g(1)\leq 1$, mithin $g(1)=1$.

Andererseits wäre sicher $f_{1}(x)+g(x)<h(x)$ in einer punktierten Umgebung der Null, denn sonst gäbe es eine Nullfolge $(x_{n})_{n\in{\mathbb{N}}}\subseteq (0,1]$ mit

$$\frac{\vert f_{1}(x_{n})+g(x_{n})-(f_{1}(0)+g(0))\vert}{\vert x_{... ...pha}}\geq\frac{\vert h(x_{n})\vert}{\vert x_{n}\vert^{\alpha}}=1\nrightarrow 0$$

im Widerspruch zu $f_{1}+g\in H_{\alpha}^{0}$.

Dann aber hätte die in einer punktierten Umgebung der Null positive Funktion $h-f_{1}-g$ wegen $h(1)-f_{1}(1)-g(1)=-1$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle $\tilde{x}\in (0,1)$, für die man

$$L_{\tilde{x}1}(h+f_{2}-g)=\frac{\vert h(\tilde{x})-f_{1}(\tilde{x... ...}{\vert 1-\tilde{x}\vert^{\alpha}}=\frac{1}{\vert 1-\tilde{x}\vert^{\alpha}}>1$$

im Widerspruch zu (4.2.6) erhielte.

Man sieht nun schnell, daß auch ein komplexwertiges $g\in H_{\alpha}^{0}$ die Eigenschaft (4.2.6) nicht erfüllen kann, denn sonst würde aus $L_{\alpha}(h+f_{i}-g)\leq 1$ sofort $L_{\alpha}(h+f_{i}-\mathop{\rm Re}\nolimits (g))\leq 1$ für $i\in\{1,2\}$ folgen. $\qedsymbol$

Wie die Sätze 4.2.15 und 4.2.17 gilt der obige Satz auch wieder für die Lipschitzräume $\ell ip([0,1]^{\alpha})$ und $Lip^{\omega}([0,1]^{\alpha})$ (bzw. $Lip^{p}([0,1]^{\alpha})$). Andernfalls gäbe es ein $g\in\ell ip([0,1]^{\alpha})$ mit der Eigenschaft (4.2.6), die dann im Widerspruch zum obigen Ergebnis auch für $g-g(0)\in H_{\alpha}^{0}$ gelten würde.

Wenn wir es nicht schon viel besser wüßten (siehe Theorem 2.1.2 (ii)), könnten wir jetzt mit dem obigen Satz und Theorem 4.1.5 schließen, daß $H_{\alpha }^{0}$ eine Kopie von $c_{0}$ enthält. Und obwohl $H_{\alpha}^{\omega}$ noch ``weit von $H_{\alpha }$ entfernt'' ist -- man beachte Beipiel 4.2.10: die Mandelfunktion -- ist dieser Raum im Gegensatz zu $H_{\alpha }^{0}$ zumindest nicht separabel, da er $H_{\alpha}^{c}$ (siehe Bemerkung 4.2.7) enthält, welcher schon im Zusammenhang mit Satz 1.2.1 als inseparabel erkannt wurde.

Ein kleines Geheimnis kann hier im Hinblick auf den obigen Satz auch noch gelüftet werden: Es gibt nämlich in Wirklichkeit gar keine Projektion von $H_{\alpha}^{\omega}$ auf $H_{\alpha }^{0}$ -- und nicht nur keine $M$-Projektion, wie oben gezeigt. Auf dieses Schmankerl stößt man, wenn man etwas tiefer in der vorliegenden Arbeit herumwühlt. In Abschnitt 2.3 trifft man nämlich auf eine ganz konkrete von Johnson konstruierte Kopie von $c_{0}$ in $H_{\alpha }^{0}$, welche wiederum von einer Kopie von $\ell ^{\infty }$ in $H_{\alpha }$ herrührt. Und wenn man sich dort die ``Beweisskizze für den nichtdiskreten Fall'' (zu Theorem 2.3.1) anschaut, sieht man sofort, daß diese Kopie sogar in $H_{\alpha}^{p}$ liegt, ja man braucht für diese Kopie sogar nur eine kritische Stelle (nämlich den Häufungspunkt $x_{0}$)! Mit der gleichen Begründung wie für Korollar 2.3.4 folgt damit, daß $H_{\alpha }^{0}$ nicht komplementiert in $H_{\alpha}^{\omega}$ sein kann. Eleganter wäre es natürlich, wenn man alleine aus der Tatsache, daß $H_{\alpha}^{\omega}$ als inseparabler Raum zwischen einem zu $c_{0}$ ( $\simeq H_{\alpha}^{0}$) und einem zu $\ell ^{\infty }$ ( $\simeq H_{\alpha}$) isomorphen Raum eingeklemmt ist, ganz allgemein auf diese Tatsache schließen könnte ...

Gerne würde man natürlich noch größere Unterräume von $H_{\alpha }$ kennenlernen, in denen $H_{\alpha }^{0}$ ein $M$-Ideal ist, und dabei vielleicht auch die Frage beantworten, ob $H_{\alpha }$ selbst zu diesen Unterräumen zählt, $H_{\alpha }^{0}$ mit $(H_{\alpha}^{0})''\cong H_{\alpha}$ also $M$-eingebettet ist. Die Beantwortung dieser Frage -- möglicherweise im Zusammenhang mit einer intensiven Betrachtung von ``Mandelfunktionen verschiedenster Art'' -- sei späteren Generationen überlassen. Auf eine Vermutung, wie die Antwort ausfallen wird, wollen wir hier in Demut eingedenk der eigenen Unkenntnis und aus Ehrfurcht vor der Wahrheit verzichten.