Der Ausgangspunkt von de Leeuw

Es ist in Kapitel 2 deutlich geworden, daß man den kleinen Lipschitzraum mit dem Folgenraum $c_{0}$ in Verbindung bringen kann, wohingegen der große Lipschitzraum einiges mit dem Folgenraum $\ell ^{\infty }$ zu tun hat. So liegt zum Beispiel nach Theorem 2.2.1 und Korollar 2.4.6 (ii) für Kompakta $K$ aus endlichdimensionalen Räumen und $0<\alpha <1$ bis auf Isomorphie $\ell ip(K^{\alpha})$ in $Lip(K^{\alpha})$ wie der Folgenraum $c_{0}$ in $\ell ^{\infty }$. Wenn man nun bedenkt, daß $\ell ^{\infty }$ der zweite Dualraum von $c_{0}$ ist, so könnte man die Frage stellen, ob ähnliches auch auf der ``Lipschitzraumebene'' gilt. Diese Frage ist höchst berechtigt, denn wir wissen ja bereits für kompakte $K\subseteq {\mathbb{R}}^{m}$ seit Korollar 2.4.6 (i), daß $\Lambda(K^{\alpha})''\cong H(K^{\alpha})$ richtig ist. Wir werden in diesem Kapitel sehen, daß $\ell ip(K)''\cong Lip(K)$ für sehr allgemeine Kompakta $K$ stimmt, und wir werden am Ende dieses Kapitels die Kompakta, für die diese Dualität gilt, sogar charakterisieren. Dies steht im Gegensatz zu Kapitel 2, wo einige Fragen nach der Isomorphie zwischen Lipschitzräumen auf Kompakta und den Folgenräumen $c_{0}$ und $\ell ^{\infty }$ offen bleiben mußten.

Wir wollen bei den Anfangsgründen zu diesem Thema starten, und diese finden sich, wie schon einige Male erwähnt, in einem Artikel von K. de Leeuw [33] aus dem Jahre 1961. Es sollte darauf hingewiesen werden, daß natürlich auch D. E. Wulbert, von dem Satz 2.4.3 stammt, Kenntnis von de Leeuws Arbeit hatte. Wulbert mußte darüber hinaus das Theorem 2.2.1 von Bonic, Frampton and Tromba bemühen, um sein Korollar 2.4.6 (i) zu folgern. De Leeuw hingegen, zumindest seinem Literaturverzeichnis in [33] nach zu urteilen, nahm noch nicht einmal von dem kurz vorher erschienenen Isomorphieresultat von Ciesielski [7] Notiz, welches er für seine Beweisidee freilich auch nicht benötigt.

De Leeuw betrachtet, ähnlich wie Ciesielski, recht einfache Lipschitzräume, nämlich für $0<\alpha <1$ die Räume $Lip\,\alpha$ aller Hölder-stetigen Funktionen zum Exponenten $\alpha$ auf ${\mathbb{R}}$ mit Periode $1$ und die zugehörigen kleinen Hölderräume $\ell ip\,\alpha$, jeweils versehen mit der Norm

$$\Vert f\Vert _{L_{\alpha}}=\max(\Vert f\Vert _{\infty},L_{\alpha}(f))$$

aus Definition 1.1.2 bzw. Definition 1.1.18. Mit unseren bisher benutzten Begriffen sieht man schnell ein, daß $Lip\,\alpha\cong Lip(S_{{\mathbb{C}}}^{\alpha})$ gilt, wenn $S_{{\mathbb{C}}}$ die Einheitssphäre in ${\mathbb{C}}$ mit der durch die Bogenlänge $d(e^{2\pi i\varphi}, e^{2\pi i\psi}):=\min(\varphi-\psi,1-(\varphi-\psi))$ zwischen $e^{2\pi i\varphi}$ und $e^{2\pi i\psi}$, $0\leq\psi\leq\varphi<1$, gegebenen Metrik $d$ ist.

Wieso de Leeuw ausgerechnet periodische Funktionen betrachtet, wird in Abschnitt 3.2 deutlich werden. Dort sehen wir seinen Beweis zur Surjektivität und Normerhaltung des von ihm definierten isometrischen Isomorphismus zwischen $(\ell ip\,\alpha)''$ und $Lip\,\alpha$, in welchem er auf Ergebnisse aus der Theorie über Fourierreihen zurückgreift. Der Nachweis der Injektivität und der Kontraktivität dieser Abbildung hängt indes nicht von der speziellen Gestalt der von de Leeuw betrachteten Räume ab und kann völlig allgemein geführt werden. Diese Tatsache hat sich zum Beispiel T. M. Jenkins in seiner wunderbaren und vielfach zitierten Doktorarbeit [24] zunutze gemacht, in der er die Ergebnisse aus dem Artikel von de Leeuw stark verallgemeinert. Wir wollen daher an dieser Stelle den grundlegenden Ansatz von de Leeuw in einer so weit als möglich generalisierten Form darstellen und die weiteren noch offenen Fragen, die von unterschiedlichen Autoren auf verschiedensten Wegen angegangen wurden, in den folgenden Abschitten beantworten.

Wir beginnen mit der Definition einer uns mittlerweile bereits wohlbekannten Abbildung (vergleiche Bemerkung 1.1.23 und den Beweis des Satzes 2.4.3).

Definition 3.1.1   Sei $(K,d)$ ein kompakter metrischer Raum und $\delta_{x}$, $x\in K$, das Punktauswertungsfunktional auf $\ell ip(K)$ an der Stelle $x$. Definiere nun die Abbildung

$$I: \ell ip(K)''\to Lip(K)$$

für $F\in \ell ip(K)''$ durch

$$I(F)(x)=F(\delta_{x})\quad\forall x\in K.$$

Zur Untersuchung dieser Abbildung (bzw. zur nachträglichen Rechtfertigung der Definition) benötigen wir das folgende Lemma, dessen einfacher Beweis als Zweizeiler im Beweis von Satz 1.1.22 bereits enthalten ist. Von nun an sei mit $\Vert\,{\cdot}\,\Vert'$ die Norm in $\ell ip(K)'$ und mit $\Vert\,{\cdot}\,\Vert''$ die Norm in $\ell ip(K)''$ bezeichnet.

Lemma 3.1.2   Es gelten für alle $x,y\in K$ die Abschätzungen

$$\Vert\delta_{x}\Vert'\leq 1$$   und$$\quad \Vert\delta_{x}-\delta_{y}\Vert'\leq d(x,y).$$

Dies liefert mit einem weiteren Blick auf den Beweis von Satz 1.1.22 und die Bemerkung 1.1.23 das

Lemma 3.1.3   Die in Definition 3.1.1 angegebene Abbildung $I$ ist wohldefiniert, linear und kontraktiv und bildet die natürliche Einbettung von $\ell ip(K)$ in $\ell ip(K)''$ wieder auf $\ell ip(K)$ ab.

Wir nähern uns nun dem zweiten Dualraum von $\ell ip(K)$, indem wir zunächst versuchen, den Dualraum $\ell ip(K)'$ etwas in den Griff zu bekommen. Nun kennt man ja Dualräume gewisser Räume von stetigen Funktionen nach dem Rieszschen Darstellungssatz (siehe Theorem II.2.5 und S. 89 in [55]) sehr genau. De Leeuws weiteres Vorgehen basiert auf der Idee, sich dieses Wissen zunutze zu machen, und zu diesem Zweck hat er seinen Einbettungssatz formuliert, den wir in Kapitel 1 (Satz 1.1.10) bereits kennengelernt haben. Dieser besagt, daß mit dem lokalkompakten Raum $\hat{K}=K\cup(K^{2}\backslash \mathop{\rm diag}\nolimits (K^2))$ die durch $\varPhi f(x)=f(x)$ und $\varPhi f(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{d(x,y)}$ definierte Abbildung $\varPhi: Lip(K)\to C^{b}(\hat{K})$ den kleinen Lipschitzraum isometrisch isomorph auf einen Unterraum $\varPhi(\ell ip(K))$ in $C_{0}(\hat{K})$ abbildet. Der Dualraum von $C_{0}(\hat{K})$ ist nach Riesz der Raum $(M(\hat{K}),\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{V})$ aller regulären Borelmaße auf $\hat{K}$, versehen mit der Variationsnorm $\Vert\,{\cdot}\,\Vert _{V}$. Damit erhalten wir das gewünschte

Lemma 3.1.4   Es sei $\varphi$ ein Funktional auf $\ell ip(K)$. Dann existiert ein Maß $\mu\in M(\hat{K})$ mit $\Vert\mu\Vert _{V}=\Vert\varphi\Vert'$, so daß

$$\varphi(f)=\int_{K}f(x)d\mu(x)+\int_{K^{2}\backslash \mathop{\rm diag}\nolimits (K^{2})}\frac{f(x)-f(y)}{d(x,y)} d\mu(x,y)$$

für alle $f\in \ell ip(K)$ gilt.

Beweis. [Beweis] Nach dem oben zitierten Satz 1.1.10 gibt das Funktional $\varphi\in \ell ip(K)'$ Anlaß zu einem normgleichen Funktional $\tilde{\varphi}$ auf $\varPhi(\ell ip(K))$. $\tilde{\varphi}$ kann nach dem Satz von Hahn-Banach unter Erhaltung seiner Norm zu einem Funktional auf ganz $C_{0}(\hat{K})$ fortgesetzt werden, welches nach dem Rieszschen Darstellungssatz einem Maß $\mu\in M(\hat{K})$ entspricht. Mit diesem Maß gilt also $\Vert\mu\Vert _{V}=\Vert\varphi\Vert'$ und

$$\varphi(f)=\int_{\hat{K}}\varPhi(f)d\mu\quad\forall f\in \ell ip(K),$$

und nichts anderes wurde behauptet. $\qedsymbol$

Da zur Beschreibung der Funktionale auf $C(K)$ die Maße auf $K$ ausreichen, besteht natürlich die Wunsch, die Aussage des obigen Lemmas noch dahingehend zu verbessern, daß man Funktionalen auf $\ell ip(K)$ alleine durch Maße auf $K$ beikommen kann. Die nächsten beiden Lemmata zeigen, daß dieser Wunsch mehr als in Erfüllung geht.

Definition 3.1.5   Es wird mit $\ell ip(K)'_{m}$ die Menge all derjenigen Elemente $\varphi\in \ell ip(K)'$ bezeichnet, für die

$$\varphi(f)=\int_{K}fd\nu\quad\forall f\in \ell ip(K)$$ (1)

mit einem Maß $\nu\in M(K)$ gilt. Weiter wird durch $\ell ip(K)'_{p}$ der Teilraum aller Funktionale aus $\ell ip(K)'_{m}$ bezeichnet, für die (3.1.1) sogar mit einem Maß $\nu$ mit endlichem Träger gilt.

$\ell ip(K)'_{p}$ ist also der von den Punktauswertungsfunktionalen $\{\delta_{x}\}_{x\in K}$ aufgespannte Unterraum von $\ell ip(K)'$.

Lemma 3.1.6   $\ell ip(K)'_{m}$ liegt dicht in $\ell ip(K)'$.

Beweis. [Beweis] Sei ein Funktional $\varphi\in \ell ip(K)$ mit einem zugehörigen Maß $\mu\in M(\hat{K})$ gemäß Lemma 3.1.4 gegeben. Die Einschränkungen von $\mu$ auf $K$ bzw. auf $K^{2}\backslash \mathop{\rm diag}\nolimits (K^{2})$ seien mit $\mu'$ bzw. mit $\mu''$ bezeichnet. Weiter seien für $n\in {\mathbb{N}}$ die aufsteigende Mengenfolge

$$A_{n}=\{(x,y)\in K^{2}: d(x,y)\geq 1/n\}$$

und die (zu dieser in $K^{2}\backslash \mathop{\rm diag}\nolimits (K^{2})$ komplementäre) absteigende Mengenfolge

$$Z_{n}=\{(x,y)\in K^{2}: 0<d(x,y)< 1/n\}$$

erklärt. Definiere nun für $n\in {\mathbb{N}}$ das Funktional $\varphi_{n}\in \ell ip(K)'$ durch

$$\varphi_{n}(f)=\int_{K}f(x)d\mu'(x)+\int_{A_{n}}\frac{f(x)-f(y)}{d(x,y)}d\mu''(x,y)\quad\forall f\in \ell ip(K).$$

Es gilt dann

$$\vert\varphi_{n}(f)\vert\leq \Vert f\Vert _{\infty}(\Vert\mu'\Vert _{V}+2n\Vert\mu''\Vert _{V}),$$

was bedeutet, daß $\varphi_{n}$ mit Hahn-Banach zu einem Funktional auf $C(K)$ fortgesetzt werden kann, so daß mit einem Maß $\mu_{n}\in M(K)$ sogar

$$\varphi_{n}(f)=\int_{K}f(x)d\mu_{n}(x)\quad\forall f\in \ell ip(K)$$

und folglich $\varphi_{n}\in \ell ip(K)_{m}'$ gilt. Weiter hat man für $f\in \ell ip(K)$ mit $\Vert f\Vert _{L}\leq 1$

$$\vert(\varphi-\varphi_{n})(f)\vert=\left \vert\int_{Z_{n}}\frac{f(x)-f(y)}{d(x,y)}d\mu''(x,y)\right \vert\leq \vert\mu''\vert(Z_{n}).$$

Aus $Z_{1}\supseteq Z_{2}\supseteq \dots$ und der Stetigkeit des Maßes $\mu''$ folgt schließlich

$$\lim_{n\to\infty}\vert\mu''\vert(Z_{n})=\vert\mu''\vert\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}Z_{n}\right)=\vert\mu''\vert(\varnothing)=0,$$

also $\Vert\varphi-\varphi_{n}\Vert'\to 0$, womit die Aussage des Lemmas bewiesen ist. $\qedsymbol$

Als ob Lemma 3.1.6 nicht schon genug wäre, hat man auch noch die folgende Verschärfung seiner Aussage. Diese bildet nun das Fundament, auf dem wir die Beweise zur Injektivität und später vor allem zur Surjektivität unserer in Definition 3.1.1 erklärten Abbildung $I$ aufbauen können.

Satz 3.1.7   $\ell ip(K)'_{p}$ liegt dicht in $\ell ip(K)'$.

Man beachte in den nachfolgenden Gedanken die Ästhetik im Zusammenspiel des Satzes von Arzelà-Ascoli und des Satzes von Krein-Milman!

Beweis. [Beweis] Sei $\varepsilon >0$ gegeben, weiter ein Maß $\nu\in M(K)$ und $\varphi\in \ell ip(K)'$ durch (3.1.1) definiert. Setze $\varepsilon ':=\frac{\varepsilon }{4\Vert\nu\Vert _{V}}$. Nach Lemma 3.1.6 reicht es zu zeigen, daß $\varphi$ in der Norm von $\ell ip(K)'$ durch Elemente aus $\ell ip(K)'_{p}$ angenähert werden kann. Betrachte hierzu die Einheitskugel $B_{\ell ip(K)}$, welche in $C(K)$ eine beschränkte und offensichtlich gleichgradig stetige Funktionenmenge ist. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist sie also präkompakt, so daß eine endliche Menge $N\subseteq B_{\ell ip(K)}$ existiert, für die, wenn $B(\tilde{f},\varepsilon '):=\{g\in C(K): \Vert g-\tilde{f}\Vert _{\infty}\leq\varepsilon '\}$ gesetzt wird, $\bigcup_{\tilde{f}\in N}B(\tilde{f},\varepsilon ')\supseteq B_{\ell ip(K)}$ gilt. Die Tatsache, daß (vgl. S. 350 Beispiel (f) in [55]) die Extremalpunkte der Einheitskugel $B_{M(K)}$ bis auf Faktoren vom Betrag $1$ aus den Punktmaßen bestehen, liefert nun zusammen mit dem Satz von Krein-Milman (vgl. VIII.4.4 in [55]) die Aussage, daß diejenige Teilmenge der um $\Vert\nu\Vert _{V}$ gestreckten Einheitskugel

$$\Vert\nu\Vert _{V}B_{M(K)}=\{\eta\in M(K):\Vert\eta\Vert _{V}\leq\Vert\nu\Vert _{V}\},$$

welche aus Maßen mit endlichem Träger besteht, bezüglich der $w^{*}$-Topologie dicht in $\Vert\nu\Vert _{V}B_{M(K)}$ liegt. Es existiert also ein Maß $\eta$ mit endlichem Träger auf $K$ und $\Vert\eta\Vert _{V}\leq\Vert\nu\Vert _{V}$, so daß

$$\left \vert\int_{K}\tilde{f}d\nu-\int_{K}\tilde{f}d\eta\right \vert\leq\frac{\varepsilon }{2}\quad\forall \tilde{f}\in N$$

gilt. Hieraus folgt nun für alle $f\in B_{\ell ip(K)}$

$$\left \vert\int_{K}fd\nu-\int_{K}fd\eta\right \vert\leq\varepsilon ,$$

denn zu einem $f\in B_{\ell ip(K)}$ findet man ein $\tilde{f}\in N$ mit $\Vert f-\tilde{f}\Vert _{\infty}\leq\frac{\varepsilon }{4\Vert\nu\Vert _{V}}$, also

$$\left \vert\int_{K}fd\nu-\int_{K}fd\eta\right \vert \leq\left \vert\int_{K}(f-\tilde{f})d\nu\right \vert+\left \vert\... ...{K}\tilde{f}d\eta\right \vert+\left \vert\int_{K}(\tilde{f}-f)d\eta\right \vert$$

$$\leq\Vert f-\tilde{f}\Vert _{\infty}\Vert\nu\Vert _{V}+\frac{\varepsilon }{2}+\Vert f-\tilde{f}\Vert _{\infty}\Vert\nu\Vert _{V}\leq\varepsilon .$$

Damit erfüllt das durch

$$\psi(f)=\int_{K}fd\eta\quad\forall f\in \ell ip(K)$$

definierte Funktional $\psi\in \ell ip(K)'_{p}$ die Abschätzung $\Vert\varphi-\psi\Vert'\leq\varepsilon$. $\qedsymbol$

Da wir die Abbildung $I$ in Definition 3.1.1 über die Punktauswertungsfunktionale definiert haben, erhalten wir als Abfallprodukt von Satz 3.1.7 jetzt das begehrte

Korollar 3.1.8  

Die gemäß Definition 3.1.1 gegebene Abbildung $I$ ist injektiv.

Beweis. [Beweis] Der Kern der Abbildung $I$ ist trivial, denn ist $I(F)=0$ für ein $F\in \ell ip(K)''$, dann gilt $F(\delta_{x})=0\enspace\forall x\in K$, so daß $F$ nach Satz 3.1.7 auf der in $\ell ip(K)'$ dichten Menge $\ell ip(K)'_{p}$ mit dem Nullfunktional übereinstimmt und aufgrund seiner Stetigkeit eben dieses ist. $\qedsymbol$

Das ``Wulbertsche Analogon'' zu Satz 3.1.7 ist Lemma 2.4.4, welches Wulbert für den Beweis seines Satzes 2.4.3 benötigt. Auch dort hat man die Aussage, daß eine gewisse Menge leicht handhabbarer Funktionale (konkret der von den Funktionalen $\xi(x,y)$ aufgespannte Teilraum), über die man die Abbildung $I$ definiert hat, dicht im Dualraum des kleinen Lipschitzraums $\Lambda(K^{\alpha})$ liegt. Natürlich sind die Funktionale $\xi(x,y)$ gegenüber den Punktauswertungsfunktionalen etwas ``aussagekräftiger'', so daß Wulbert mit Lemma 2.4.4 bereits die Normerhaltung seiner Abbildung $I$ nachweisen kann, wozu wir mit unserem Satz 3.1.7 noch nicht in der Lage zu sein scheinen (siehe jedoch den Beweis zu Theorem 3.3.2). Andererseits benötigt Wulbert als Voraussetzung in Lemma 2.4.4 die Separabilität von $\Lambda(K^{\alpha})'$, die wir mit Satz 3.1.7 ``geschenkt'' bekommen.

Satz 3.1.9   Für kompaktes $K$ ist $\ell ip(K)'$ und damit $\ell ip(K)$ separabel.

Beweis. [Beweis] Die Separabilität von $\ell ip(K)$ folgt ganz allgemein (mit Satz III.1.12 in [55]) aus der von $\ell ip(K)'$. Da $\Vert\delta_{x}-\delta_{y}\Vert'\leq d(x,y)\enspace\forall x,y\in K$ nach Lemma 3.1.2 gilt und $K$ aufgrund seiner Kompaktheit separabel ist, ist auch die Menge $\{\delta_{x}\}_{x\in K}$ der Punktauswertungsfunktionale in $\ell ip(K)'$ separabel. Hieraus folgt mit Satz 3.1.7 die Separabilität von $\ell ip(K)'$. $\qedsymbol$

Wie in Bemerkung 2.3.2 schon erwähnt, zeigt J. A. Johnson in [27], daß im Falle $0<\alpha <1$ aus der Separabilität von $\ell ip(K^{\alpha})$ wieder die Präkompaktheit von $K$ folgt. Dafür weist Johnson (unter Verwendung der kleinen Hölderfunktionen $x\mapsto d(x,x_{0})$, $x_{0}\in K$, auf $K$) nach, daß für nicht präkompaktes $K$ die Einheitskugel in $\ell ip(K^{\alpha})'$ nicht $w^{*}$-metrisierbar ist, und hieraus kann man (siehe VIII.6.15 (e) in [55]) die Nicht-Separabilität von $\ell ip(K^{\alpha})$ schließen.

Man beachte, daß alle in diesem Abschnitt gemachten Aussagen, einschließlich Satz 3.1.7 und Korollar 3.1.8 nur die Kompaktheit von $K$ erfordern und sonst keine weiteren Anforderungen an den metrischen Raum stellen. Dies wird sich in den folgenden Abschnitten, in denen wir die Surjektivität und die Normerhaltung von $I$ nachweisen wollen, ändern. Und dies muß sich auch ändern, denn im Falle $K=[0,1]$ zum Beispiel ist ja (siehe Bemerkung 1.1.14) $\ell ip(K)$ und damit auch $\ell ip(K)''$ eindimensional, und viel weiter kann dieser Raum von einer isometrischen Isomorphie mit $Lip([0,1])\simeq L^{\infty}([0,1])$ (siehe die Sätze 1.1.6 und 1.2.3) wohl kaum entfernt sein! Man kann sich jedoch solch krasser Gegenbeispiele entledigen (und nicht nur solcher!), wenn man dafür Sorge trägt, daß der metrische Raum angenehm genug gestaltet ist, um eine gewisse gleichmäßige Annäherung von großen Lipschitzfunktionen durch kleine zu erlauben.