% Vorlage fuer Handouts
% zum Seminar "Elliptische Kurven in der Kryptographie"
% im SS 2014
%
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% Allgemeine Hinweise
% - Halten Sie den LaTeX-Code so uebersichtlich wie moeglich;
%   (La)TeX-Fehlermeldungen sind oft kryptisch -- in einem ordentlich 
%   strukturierten Quellcode lassen sich Fehler leichter finden und 
%   beseitigen
%
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% Jedes LaTeX-Dokument muss eine \documentclass-Deklaration enthalten
%   Diese sorgt fuer das allgemeine Seiten-Layout, das Aussehen der 
%   Ueberschriften etc.
\documentclass[a4paper,DIV13]{scrartcl}
% damit kann man die Raender variieren:
% \usepackage[ left=2.8cm, right=3cm, top=3cm, bottom=4.2cm]{geometry}  

% Potentiell ist hiermit das Sparen von Papier moeglich:
% \let\cleardoublepage\par
% \let\clearpage\par

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Einbinden weiterer Pakete
\usepackage{german}    % fuer die deutschen Trennmuster
\usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
\usepackage{amsmath}   % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
\usepackage{amsthm}    % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
\usepackage{amsfonts}  % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
\usepackage{relsize}   % fuer \smaller 
\usepackage{tikz}      % fuer Graphiken
\usepackage[headinclude]{scrpage2}  % fuer die Kopfzeilen

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Deklaration eigener Mathematik-Makros
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}   % natuerliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{C}}}   % komplexe Zahlen


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
\newtheorem{satz}{Satz}[section]
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
\newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
\newenvironment{beweis}%
{\begin{proof}[Beweis]}
{\end{proof}}
\newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Deklaration weiterer Makros
\renewcommand{\labelitemi}{}   % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
\makeatletter                    % Fussnote ohne Symbol
\def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
%\renewcommand{\sectfont}{\normalfont} % aendert den Font fuer Ueberschriften


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Titel der Ausarbeitung
\author{Max Mustermann (\textsf{mail@fu-berlin.de})}
\date{\today}
\title{Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven%
\blfootnote{Seminar \glqq Elliptische Kurven in der Kryptographie\grqq, 
SS~2014, Freie Universit\"at Berlin}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Anfang des eigentlichen Dokuments
\begin{document}

% Titel der Ausarbeitung -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen!
\maketitle

\begin{abstract}
\noindent
Hier steht eine Zusammenfassung bzw.\ ein \"Uberblick des Vortrags
-- ungef\"ahr vier bis zehn Zeilen. Man sollte kurz beschreiben,
was das Hauptziel des Vortrags ist, und in welchen Schritten dieses
Ziel erreicht wird.
\end{abstract}

\section{Das Gruppengesetz}
\begin{definition}[Projektive Gerade]
\label{def:Gerade}
Ist $g \in F[X,Y,Z]$  ein homogenes Polynom vom Grad 1, also $$ g(X,Y,Z)=\alpha
X+\beta Y + \gamma Z$$ f\"ur $\alpha, \beta, \gamma \in F$ und nicht alle
zugleich $0$,  so nennen wir  die Kurve $C_g(F) $ \emph{projektive Gerade}.
\end{definition}

\begin{satz}
\label{satz:projG}
Im projektiven Raum gelten folgende Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item (i)  Durch je zwei verschiedene Punkte des $\mathbb{P}^2(F)$ f\"uhrt
genau eine projektive Gerade.
\item (ii) Zwei verschiedene projektive Geraden schneiden...
\end{itemize}
\end{satz}

\begin{beweis}
(i) Es seien $P_1=[a_1:b_1:c_1]$ und $P_2=[a_2:b_2:c_2]$ zwei verschiedene
Punkte im $\mathbb{P}^2(F)$.  Wir suchen...
\end{beweis}

\begin{definition}[Gruppengesetz]
\label{def:Gruppe}
Es sei $E(F)$ eine elliptische Kurve.  F\"ur zwei verschiedene Punkte $P$ und
$Q$ in $E(F)$ definieren wir einen Punkt $P \oplus Q$ in $E(F)$ wie folgt: Wir
legen eine projektive Gerade $L_1$ durch $P$ und $Q$, diese existiert nach Satz
\ref{satz:projG}. Die Gerade $L_1$ schneidet $E(F)$ in einem weiteren Punkt....
\end{definition}



\section{Eigenschaften }

\vspace*{1cm}
. . .
\newpage

\section{Beispiele}

Die Gruppenstruktur l\"asst sich hervorragend in Abbildungen veranschaulichen
(weitere Informationen zu Ti\textit{k}Z und~{\smaller PGF} finden sich in der
Dokumentation~\cite{tantau}).

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[color=black!20]
\draw[thin](-1,0)--(7,0);
\draw[thin](5,-4)--(5,1); 
\draw [ thin] (6.5,1.5) ..controls (6,1) and (6,1)..(5,0);
\draw [ thin] (5,0) ..controls (4.7,-.3) and (4.5,-.5)..(4,-.5);
\draw [ thin] (4,-.5) ..controls (3,-.5) and (3,.5)..(1.5,.5);
\draw [ thin] (1.5,.5) ..controls (1,.5) and (0,0)..(0,-1)..controls(0,-2) and (1,-2.5)..(1.5,-2.5);
\draw [ thin] (1.5,-2.5) ..controls (3,-2.5) and (3,-1.5)..(4,-1.5)..controls(4.5,-1.5) and (4.7,-1.7)..(5,-2);
\draw [ thin] (6.5,-3.5) ..controls (6,-3) and (6,-3)..(5,-2);
\end{scope}
\begin{scope}[color=blue]
\draw (5,-4) node[right] {$L_2$};
\draw (7,0) node[above] {$L_1$};
\draw (4.5,0) node[above] {$P \star Q$};
\draw (0.2,0) node[above] {$P$};
\draw (3.2,0) node[above] {$Q$};
\draw (4.4,-2.5) node[above] {$P \oplus Q$};  
\draw[fill] (5,0) circle (2pt); 
\draw[fill] (2.95,0) circle (2pt);
\draw[fill] (.45,0) circle (2pt);   
\draw[fill] (5,-2) circle (2pt); 
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Das Gruppengesetz}

\end{figure}

\begin{beispiel}
\hfil
\begin{itemize}
\item Hier ein Beispiel 
\item \dots und noch eins
\item \dots und noch eins
\end{itemize}
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}
Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben oder Fragen einzustreuen, an denen die
Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse \"uberpr\"ufen k\"onnen.
\end{aufgabe}




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% Literaturverzeichnis
% - Der Uebersicht halber sind hier bereits mehrere Quellen eingetragen, 
%   die zum Verstaendnis beitragen koennen
% - Bitte entfernen Sie alle Quellen, die Sie nicht in Ihrem Handout 
%   zitieren
% - Umgekehrt muessen Sie natuerlich, wenn Sie weitere Literatur
%   zitieren wollen, die entsprechenden Quellen hier einfuegen; 
%   hierbei kann www.ams.org/mathscinet helfen, die noetigen 
%   Informationen zu den Quellen zu sammeln
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{armstrong} A.~Werner, \emph{Elliptische Kurven in der Kryptographie}, 
Springer, 2002.

\bibitem{beutelspacher} A.~Beutelspacher, \emph{Kryptographie in Theorie und Praxis}, Vieweg 2005

\bibitem{Buchmann}J.~Buchmann, \emph{ Einf\"uhrung in die Kryptographie}, Springer 2003

\bibitem{Koblitz}N.~Koblitz, \emph{Algebraic Aspects of Cryptography}, Springer 1999.

\bibitem{tantau} 
T.~Tantau. \emph{The {\normalfont Ti\textit{k}Z} and
{\normalfont PGF} Packages}, 
\\
\textsf{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf} 

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Ende des Dokuments -- alles, was nach dieser Zeile steht, wird 
% von LaTeX ignoriert!
\end{document}
