Institut für Mathematik Freie Universität Berlin Prof. Dr. I. Horenko Dipl.-Math. O. Kaiser

1. Übung zur Vorlesung Numerik IV: Multidimensionale Datenanalyse Wintersemester 2008/2009

Aufgabe 1 (6 TP) • Leiten Sie die Formel für die Berechnung der Übergangswahrscheinlickeiten einer homogenen Markovkette auf dem endlichen diskreten Zustandsraum S = {s_{1}, s_{2}, …, s_{m}} her. Gegeben sei die beobachtete Zeitreihe der Länge T: X_{1}, X_{2}, …, X_{T} (X_{i} ∈ S). Nutzen Sie das Lagrange-Prinzip, um die Optimierung der Log-Likelihoodfunktion mit den Gleichungsnebenbedingungen ∑_{j=1}^{m} P_{ij} = 1, i = 1, …, m durchzuführen. Überprüfen Sie, ob die Ungleichungsnebenbedingungen erfüllt sind.

• Benutzen Sie die lokal-homogenene Approximation der Log-Likelihood L (P (t_{0})) ≈ log P [X_{1}] + ∑_{i,j=1}^{m} ∑_{t∈{t_{ij}}} γ(t, t_{0}) log P_{ij}(t_{0}) um die Übergangswahrscheinlichkeiten der inhomogenen Markovkette zu berechnen. Gegeben sei die beobachtete Zeitreihe der Länge T: X_{1}, X_{2}, …, X_{T} (X_{i} ∈ S).

• Programmieren Sie den lokal-homogenen Schätzer der Markov-Übergangswahrschein-lichkeiten und wenden Sie ihn auf die Analyse einer meteorologischen Zeitreihe an. Die Zeitreihe finden Sie unter http://www.cru.uea.ac.uk/ftpdata/lwtjenk.dat.

Aufgabe 2 (4 TP) • Beweisen Sie, dass die Nebenbedingungen für das Single-Trend-Modell zeitunabhängig geschrieben werden können.

Abgabetermin: 21. November 2008